Développement : Ellipsoïde de John Loewner

Détails/Enoncé :

Pour tout $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, on définit l'ellipsoïde

$$ \Sigma_S = \{ x \in \mathbb{R}^n : {}^t x S x \le 1 \} $$

Soit $K$ un compact d'intérieur contenant $0 \in \mathbb{R}^n$. Alors l'ensemble des ellipsoïdes contenant $K$ admet un élément de volume minimal.

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  • Remarque :
    On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
    Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
    C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.

    Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

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