Développement : Ellipsoïde de John Loewner

Détails/Enoncé :

Pour tout $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, on définit l'ellipsoïde

$$ \Sigma_S = \{ x \in \mathbb{R}^n : {}^t x S x \le 1 \} $$

Soit $K$ un compact d'intérieur contenant $0 \in \mathbb{R}^n$. Alors l'ensemble des ellipsoïdes contenant $K$ admet un élément de volume minimal.

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
    Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
    C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.

    Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

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    D'après moi pour les leçons : 152, 158, 171, 203, 219, 229 et 253.

    Je pense qu'il est plus intéressant de passer un peu de temps sur le calcul propre du volume d'un ellipsoïde, ça permet de montrer qu'on sait utiliser le théorème de changement de variables et où l'on voit que la diagonalisation en base orthonormée est fondamentale (pour avoir un jacobien égal à 1)
    La log-concavité du déterminant peut être faite en moins de 3 minutes et directement dans le cas où les matrices sont différentes pour avoir une inégalité stricte.

    Il y a une très belle application aux sous groupes compacts de Gl_n(R) (pas nécessairement maximaux).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages : 152,160,170,171,158,181,203,219,229,253

    Développement à tiroir : démontrer la formule du volume ou la stricte log-concavité selon les leçons. Avoir en tête la définition de la loi convexité, et que gamma est une autre fonction log-convexe

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Le document est très long, il faut un peu adapter en fonction de la leçon (penser à faire le lemme pour la leçon sur les fonctions convexes mais il n'est pas nécessaire dans celle sur le déterminant par exemple). On utilise pas mal de résultats assez forts sur les formes quadratiques et les matrices symétriques mine de rien donc il faut y avoir réfléchi avant je pense.

    Je le prends pour les leçons 149, 157, 170, 171,181, 219, 229 et 253.

    La preuve se trouve page 229 pour le théorème et 222 pour le lemme.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 50 versions au total)
Thèmes de Géométrie, Alessandri (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 17 versions au total)