Développement : Ellipsoïde de John Loewner

Détails/Enoncé :

Pour tout $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, on définit l'ellipsoïde

$$ \Sigma_S = \{ x \in \mathbb{R}^n : {}^t x S x \le 1 \} $$

Soit $K$ un compact d'intérieur contenant $0 \in \mathbb{R}^n$. Alors l'ensemble des ellipsoïdes contenant $K$ admet un élément de volume minimal.

Recasages pour l'année 2023 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
    Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
    C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.

    Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

  • Référence :
  • Auteur :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 152, 158, 171, 203, 219, 229 et 253.

    Je pense qu'il est plus intéressant de passer un peu de temps sur le calcul propre du volume d'un ellipsoïde, ça permet de montrer qu'on sait utiliser le théorème de changement de variables et où l'on voit que la diagonalisation en base orthonormée est fondamentale (pour avoir un jacobien égal à 1)
    La log-concavité du déterminant peut être faite en moins de 3 minutes et directement dans le cas où les matrices sont différentes pour avoir une inégalité stricte.

    Il y a une très belle application aux sous groupes compacts de Gl_n(R) (pas nécessairement maximaux).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Fichier :