(2015 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.)
Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ). Néanmoins, on attend des candidats une présentation synthétique de la compacité. Des exemples d'applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue.
Des exemples significatifs d'utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l'étude qualitative d'équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extremums mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie).
Les candidats solides peuvent aussi enrichir leur leçon par des exemples tels que l'étude des opérateurs à noyau continu.
Pour les candidats ambitieux, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...
Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...
Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
une indication et pof...
Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.
Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.
Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).
Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...
Pas de réponse fournie.