Développement : Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach)

Détails/Enoncé :

Soient $G$ un groupe compact, $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, $\rho : G \to GL(V)$ un morphisme de groupes continu et $\Omega \subseteq V$ un convexe $G$-stable non vide. Alors

$$ \exists x \in \Omega : g(x) = x, \forall g \in G $$

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