Leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité.

(2018) 203

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité en général (confusion entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité), et de se concentrer en priorité sur le cadre métrique. Néanmoins, on attend des candidats d’avoir une vision synthétique de la compacité. Des exemples d’applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Par ailleurs, le candidat doit savoir quand la boule unité d’un espace vectoriel normé est compacte. Des exemples significatifs d’utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass (version qui utilise pertinemment la compacité), des théorèmes de point fixe, voire l’étude qualitative d’équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d’existence d’extrema mériterait d’être davantage étudié. On peut penser comme application à la diagonalisation des matrices symétriques à coefficients réels. Pour aller plus loin, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d’utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l’espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer l’analyse de leurs propriétés spectrales.

(2016 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité). Néanmoins, on attend des candidats d’avoir une vision synthétique de la compacité. Des exemples d’applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Par ailleurs, le candidat doit savoir quand la boule unité d’un espace vectoriel normé est compacte. Des exemples significatifs d’utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l’étude qualitative d’équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d’existence d’extrema mériterait d’être davantage étudié. On peut penser comme application à la diagonalisation des matrices symétriques à coefficients réels. Pour aller plus loin, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d’utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l’espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer l’analyse de leurs propriétés spectrales.
(2015 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ). Néanmoins, on attend des candidats une présentation synthétique de la compacité. Des exemples d'applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Des exemples significatifs d'utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l'étude qualitative d'équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extremums mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie). Les candidats solides peuvent aussi enrichir leur leçon par des exemples tels que l'étude des opérateurs à noyau continu. Pour les candidats ambitieux, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales
(2014 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ), sans proposer des exemples significatifs d'utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative d'équations différentielles, etc.). La leçon peut être aussi avantageusement illustrée par des exemples d'opérateurs à noyau et l'analyse de leur compacité par le théorème d'Ascoli, par exemple. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extrema mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie). Pour les candidats solides, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs autoadjoint compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


2017 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


2016 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Brouwer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
    Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...

    Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
    Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
    Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
    j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...

    Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
    une indication et pof...

    Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.

    Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
    Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.