Leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité.

(2018) 203

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité en général (confusion entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité), et de se concentrer en priorité sur le cadre métrique. Néanmoins, on attend des candidats d’avoir une vision synthétique de la compacité. Des exemples d’applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Par ailleurs, le candidat doit savoir quand la boule unité d’un espace vectoriel normé est compacte. Des exemples significatifs d’utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass (version qui utilise pertinemment la compacité), des théorèmes de point fixe, voire l’étude qualitative d’équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d’existence d’extrema mériterait d’être davantage étudié. On peut penser comme application à la diagonalisation des matrices symétriques à coefficients réels. Pour aller plus loin, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d’utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l’espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer l’analyse de leurs propriétés spectrales.

(2016 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité). Néanmoins, on attend des candidats d’avoir une vision synthétique de la compacité. Des exemples d’applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Par ailleurs, le candidat doit savoir quand la boule unité d’un espace vectoriel normé est compacte. Des exemples significatifs d’utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l’étude qualitative d’équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d’existence d’extrema mériterait d’être davantage étudié. On peut penser comme application à la diagonalisation des matrices symétriques à coefficients réels. Pour aller plus loin, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d’utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l’espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer l’analyse de leurs propriétés spectrales.
(2015 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ). Néanmoins, on attend des candidats une présentation synthétique de la compacité. Des exemples d'applications comme le théorème de Heine et le théorème de Rolle doivent y figurer et leur démonstration être connue. Des exemples significatifs d'utilisation comme le théorème de Stone-Weierstrass, des théorèmes de point fixe, voire l'étude qualitative d'équations différentielles, sont tout-à fait envisageables. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extremums mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie). Les candidats solides peuvent aussi enrichir leur leçon par des exemples tels que l'étude des opérateurs à noyau continu. Pour les candidats ambitieux, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs auto-adjoints compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales
(2014 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ), sans proposer des exemples significatifs d'utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative d'équations différentielles, etc.). La leçon peut être aussi avantageusement illustrée par des exemples d'opérateurs à noyau et l'analyse de leur compacité par le théorème d'Ascoli, par exemple. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extrema mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie). Pour les candidats solides, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs autoadjoint compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales.

Développements :

Plans/remarques :

2019 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


2018 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


2017 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


2016 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Stone-Weierstrass

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je croyais que le dev allait etre trop long du coup j'ai admis un lemme (qui exhibe une suite de polynome qui CVU vers la valeur absolue sur [-1,1]. Finalement j'ai fini en moins de 10 min donc je leur ai proposé de quand meme démontrer le lemme et ils avaient l'air ok.
    Ensuite j'ai eu quelques questions de précision sur le dév, et d'application de Stone Weierstrass (montrer que X compact => C(X) est séparable et une autre question dont je ne me souviens plus)

    Sur le plan, pas trop de question pénible, j'avais mis le thm de prolongement de Tietze (en application a SW) et on m'a demandé de démontrer du coup le lemme d'urysohn dans le cadre métrique (qui dit que si on a 2 compacts disjoints alors on trouve une fonction continue qui vaut 1 sur l'un et 0 sur l'autre).

    Ensuite j'ai du montrer que A = {(un) tq |un| < 1/2^n} était compact dans l^1(N)

    Ensuite j'ai du montrer que si K est un compact convexe d'un evn, et f tq ||f(x)-f(y)|| <= ||x-y|| alors f admettait un point fixe.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sympathique

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    pas de surprise j'avais préparé cette lecon pendant l'année

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Continuité des racines d'un polynôme

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était mon deuxième oral, j'étais beaucoup moins stressée qu'au premier. On m'a demandé de préciser quelque chose sur mon développement puis on m'a demandé de montrer qu'une suite à valeurs dans un compact qui a au plus une valeur d'adhérence converge (je l'utilisais dans mon développement et je l'avais juste très vite justifié à l'oral).
    Question suivante : Comment définissez-vous la topologie quotient ? (j'en parlais dans mon plan à cause de ce développement où la topologie induite par la distance que je mets est en fait la topologie quotient) Je l'ai défini avec sa propriété universelle, ce qui a surpris le jury (apparemment c'est plus courant en algèbre qu'en analyse), du coup j'ai expliqué qu'il y avait deux manières de faire, soit on la définissait avec sa propriété universelle puis on la construisait pour montrer qu'on ne parlait pas sur du vide, soit on prenait sa construction pour définition et on montrait qu'elle vérifiait la propriété universelle et que c'était la seule (sur l'ensemble quotient).
    Ensuite un membre du jury m'a demandé comment je définissais les compacts en topologie générale, j'ai répondu avec Borel Lebesgue (et le fait d'être séparé) et il m'a demandé si je connaissais un compact qui ne vérifie pas Bolzano Weierstrass.
    J'ai répondu qu'en tout cas ça ne serait pas un compact métrique et j'ai cherché un peu, mais il m'a rapidement interrompu pour me dire que si je n'en connaissais pas je n'allais pas deviner. Un autre membre du jury m'a alors demandé de parler de la topologie de la convergence simple; il m'a guidé et j'ai compris qu'il avait l'air de vouloir que j'utilise un théorème de Tychonoff, mais celui qui me venait à l'esprit était dénombrable et là on n'était pas dans un cadre dénombrable; je leur ai fait part de ces réflexions et on est passé à des questions sur le plan (retour dans un cadre métrique du coup).
    Je ne me souviens plus des questions exactes sur mon plan (qui avait deux parties, une sur l'utilisation de la compacité en lien avec la continuité (l'image continue d'un compact est compact, Rolle, Heine, Weierstrass... et beaucoup d'applications) et une sur Ascoli, Montel et le théorème de représentation conforme de Riemann (ce dernier étant admis)) mais elles étaient du style "Comment vous déduisez cette application de ce théorème ?" et aussi pourquoi je mettais le théorème de représentation conforme de Riemann (c'est parce qu'on utilise le théorème de Montel dans sa preuve, et qu'à mon avis ça se voit plus facilement que c'est un théorème utile (si on finit avec le théorème de Montel on reste sur sa faim à mon avis, en mode "à quoi ça sert ?")).
    Ensuite un membre du jury m'a demandé si j'avais d'autres (que Montel) applications du théorème d'Ascoli, j'ai répondu le théorème de Cauchy Peano, et un membre du jury m'a demandé comment on le prouvait, j'ai donné une idée "avec les mains" (j'ai parlé des solutions epsilon approchées mais je ne me souvenais plus des définitions exactes, juste des grandes idées), puis un membre du jury m'a demandé "Et avec un ordinateur on fait comment ?" du coup j'ai expliqué le coup des tangentes et de faire quelque chose d'affine par morceaux, et on est passé aux exos. Chaque membre du jury m'a posé un exo.
    Exo 1 : Soient (E,||.||) un evn, X un compact de E, f : X -> X telle que pour tous x et y distincts || f(x) - f(y) || < || x - y ||. Montrez que f a un unique point fixe.
    Exo 2 : Soient (E,||.||) un evn, K un compact de E. Notons L la réunion sur (x,y) dans K^2 des segments [x,y]. Montrez que L est compact.
    Exo 3 : Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans C, dérivables sur ]0,1[, telle que la suite des dérivées (f'_n) est bornée dans L^2. Montrez que (f_n) converge uniformément.
    Pour l'exo 3, [SPOILER RÉPONSE] j'ai réussi à borner (f_n) avec une méthode ad hoc (je me suis aperçue après coup que le jury s'attendait à du Cauchy Schwarz mais là j'ai utilisé |f'_n| <= 1 + |f'_n|^2), puis j'ai compris que le jury voulait que j'utilise Ascoli donc j'ai essayé de montrer l'équicontinuité, mais la même méthode était trop bourrin cette fois-ci, me voyant bloquée un membre du jury a dit "les f'_n sont dans L^2" et j'ai eu le déclic - Cauchy Schwarz !-, puis avec le théorème d'Ascoli j'ai résolu l'exo, ce qui a conclu mon oral.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les trois membres du jury étaient très souriants et encourageants, du début à la fin de l'oral. J'ai pu cherché les exercices tranquillement, et le jury était toujours intéressé par ce que je faisais, même si c'était inattendu (par exemple pour le deuxième exo je pensais qu'il était plus compliqué qu'il ne l'était vraiment, du coup j'ai fait un cas particulier (K un ensemble fini de R^2, je faisais des dessins pour voir à quoi ressemblait L), ça a interloqué le membre du jury qui m'avait posé l'exo mais il m'a demandé d'expliquer ce que je faisais et il ne m'a pas interrompu, et j'ai eu le déclic [SPOILER RÉPONSE] de faire des extractions successives). Il n'y avait pas de temps mort et en même temps le jury ne me pressait pas, entre ça et leurs sourires (sur les visages et dans les voix) c'était vraiment le jury idéal.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps passe très vite, je n'ai eu le temps que de mettre une vingtaine d'items alors que quand je faisais les plans chez moi j'en mettais au moins une cinquantaine. J'ai aussi été surprise qu'il y ait des questions de topologie générale alors que le rapport du jury insistait sur le cadre métrique, mais le jury n'avait pas l'air trop déçu que je n'arrive pas à répondre à ses questions de topologie générale, donc ça allait.

  • Note obtenue :

    17


2017 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité.

  • Leçon choisie :

    203 : Utilisation de la notion de compacité.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Brouwer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
    Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...

    Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
    Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
    Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
    j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...

    Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
    une indication et pof...

    Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.

    Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
    Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.