Développement : Algorithme du gradient à pas optimal

Détails/Enoncé :

Preuve usuelle de la convergence de l'algorithme du gradient à pas optimal dans le cadre d'une fonction $\Phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ supposé $\alpha$-convexe et de classe $\mathcal{C}^1$.

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  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 162, 219, 223, 226, 229, 233 et 253.

    Je suis passé à l'oral sur ce développement (voir mon retour sur la leçon 233 si cela vous intéresse, notamment les questions).

    Le développement est assez calculatoire et le jury le sait. Je ne peux que conseiller de prévoir du temps pour expliquer l'algorithme (le 2) de mon document), de faire un dessin et surtout de prévenir le jury que vous allez l'expliquer.

    Pour moi la convexité apparaît à deux endroits : pour l'unicité du minimum de la fonctionnelle quadratique (qui est strictement convexe) et dans le lemme de Kantorovich.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Optimisation et analyse convexe, Hiriart-Urruty (utilisée dans 2 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 39 versions au total)