Injection compacte dans les espaces de Sobolev

Schéma numérique pour l'équation de la chaleur

Algorithme du gradient à pas optimal

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Espaces de fonctions. Exemples et applications

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon faite au tout début de l'année. J'aurais rajouté la méthode QR prise dans Ciarlet.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 153.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Voici un plan possible pour la leçon 162.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

J'ai eu beaucoup de difficultés à trouver des références pour cette leçon, c'est pour cela que certains résultats sont marqués d'un cœur au crayon, signifiant "par cœur".
Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené. J'ai appris beaucoup de choses que je ne savais pas concernant le pivot de Gauss en faisant cette leçon, notamment ses nombreuses applications (qui étaient passées à la trappe en première année à cause du confinement...)

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Si l'on utilise pas le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) il est difficile de trouver une référence qui en parle de manière complète... Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené et du pivot de Gauss et surtout illustrer par des exemples et applications diverses.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Voici un plan possible pour la leçon 208.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Cette leçon a été faite au début de l'année. On peut mettre moins d'analyse numérique et mettre par exemple Cauchy-Lipschitz dont la démonstration s'appuie sur la convergence d'une suite récurrente dans l'espace de Banach.
On peut aussi mettre d'autres schémas numériques pour les EDO qu'Euler explicite, parler de leur erreur etc... Mais je ne maîtrisais pas trop ces sujets et manquais de place donc je me suis contenté de ça. Je conseille de lire le développement du Bernis sur ce sujet si on ne le fait pas, il est très éclairant sur la procédure à suivre pour étudier certaines suites récurrentes. C'est d'ailleurs cette méthode que j'utilise pour le DEV 1 (que je n'ai trouvé dans aucun livre...)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Voici un plan possible pour la leçon 226.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)