Oraux X-ENS Algèbre 2

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 17 développements suivants :

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
Dimension du commutant
Théorème de Burnside
Topologie des classes de similitude
Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)
Isomorphisme entre GLn(K) et GLm(L)
Théorème d'Auerbach
Morphismes continus du cercle dans GLn(R)
Adhérence des racines de la matrice identité
Chemin continu de projecteurs
Localisation des valeurs propres
Déterminant de Cauchy par deux méthodes
Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles
Matrices à coefficients dans Z/nZ
Dual de M_n(K)
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

Utilisée dans les 16 leçons suivantes :

149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
230 (2024) Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
102 (2024) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
108 (2024) Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
150 (2024) Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
162 (2024) Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
144 (2024) Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
104 (2024) Groupes finis. Exemples et applications.
152 (2024) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
153 (2024) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.

Utilisée dans les 33 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Pour la leçon 151, faire la version qui utilise l'invariance du rang par extension de corps (qui est par ailleurs selon moi plus simple à justifier). Pour la 162, la version systémique du FGN est très bien, à condition de savoir expliquer pourquoi la dimension de l'espace des solutions ne change pas par extension de corps.

    Parmi les questions possibles:

    Peut-on toujours prendre une extension sur laquelle A est trigonalisable ? Oui, sachez comment construire un corps de décomposition par récurrence. Je ne pense pas qu'il soit utilise de s'aventurer vers les clôtures algébriques et le théorème de Steinitz.

    Les histoires de cyclicité, la condition sur l'égalité des polynômes minimal et caractéristique, du coup savoir un peu parler du polynôme minimal ponctuel, ...
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  • Remarque :

    /!\ Attention /!\


    Ce n'est pas un développement. D'une part, ça peut être présenté en littéralement 5 minutes, d'autre part l'ajout de l'inégalité de Hadamard est totalement artificielle. Elle n'est même pas utile pour prouver le théorème ! C'est juste que le FGN traite d'abord le cas euclidien (dans lequel l'inégalité de Hadamard s'applique) pour se donner une idée de la marche à suivre, mais la démonstration en elle-même est très courte et ne l'utilise pas.

    Oraux X-ENS Algèbre 2 (2e version) p11

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

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Utilisée dans les 29 versions de leçons suivantes :