Développement : Théorème de Burnside

Détails/Enoncé :

Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$ tel qu'il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $\forall A \in G$, $A^N = I_n$. Alors $G$ est fini.

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 106 et 157

    Je n'utilise pas Vandermonde pour démontrer le lemme préliminaire, pour pouvoir le caser dans la leçon 157.
    Attention à mon erreur de dénombrement à la fin...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Développement classique faisant intervenir le déterminant de Vandermonde. Ici, on montre un lemme caractérisant les endomorphismes nilpotents sur C puis on montre le théorème.

    Résultats bonus:
    1. Déterminant de Vandermonde (par deux méthodes)
    2. Soit G sous-groupe de GL_n(C) et p=dim(Vect(G)), alors il existe une base (M_1;...;M_p) de Vect(G) telle que les M_i soient dans G.

    Développement n°25 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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    Pour être tout à fait honnête, je l'avais présenté en oral blanc et j'avais complètement foiré la fin. Je ne le maîtrisais pas encore suffisamment bien, et j'avais écrit $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$, ce qui donnait ensuite :
    \begin{equation*}
    \mathrm{Tr}((AB^{-1}-I_n)^k) = \sum_{j=0}^{n} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} n^j
    \end{equation*}
    m'empêchant donc de conclure. Or, l'égalité $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$ est fausse a priori (la trace n'est pas multiplicative). Par exemple, si $A=B=I_n$ alors $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = \mathrm{Tr}(I_n) = n$ et $(\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j = (\mathrm{Tr}(I_n))^j = n^j$. Malgré cette mésaventure, j'apprécie ce développement, qui se comprend et se retient facilement, et peut être présenté dans plusieurs leçons. Je le recommande.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 77 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 179 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)