Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

(2018) 157

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, par exemple pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. L’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius .

(2016 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, ceci pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables par exemple. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. Notons que l’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius.
(2015 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan, à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Deux endomorphismes trigonalisables qui commutent sont simultanément trigonalisables, mais une grande proportion de candidats pensent à tort que la réciproque est vraie. Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.
(2014 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2017 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2016 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2015 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique ) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    127 : Droite projective et birapport.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

    sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

    Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

    Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

    Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

    Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



    Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

    Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

    J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

    Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

    - Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

    - D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

    - $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

    - Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
    $$
    \begin{matrix}
    1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
    0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
    0 \esperluette 0 \esperluette 9
    \end{matrix}
    $$
    Calculer ses racines carrées.
    Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

    - Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
    On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

    Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

  • Note obtenue :

    11.75