Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Critère de nilpotence de Cartan

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

-Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf).
Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu.
Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent.
Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...)
Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

Chose à savoir : on a droit à nos notes du temps de préparation pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

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157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

Pas de réponse fournie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

127 : Droite projective et birapport.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

Pas de réponse fournie.

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126 : Exemples d'équations diophantiennes.

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

- Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

- D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

- $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

- Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
$$
\begin{matrix}
1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
0 \esperluette 0 \esperluette 9
\end{matrix}
$$
Calculer ses racines carrées.
Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

- Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

11.75