Développement : Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Détails/Enoncé :

Tout endomorphisme $f$ s'écrit, sous réserve que $\chi_f$ soit scindé dans $K$, sous la forme $f = d + n$ où $d$ est un endomorphisme diagonalisable et $n$ un endomorphisme nilpotent.

Il existe une démonstration non algorithmique de cette décomposition.

Soit K un corps de caractéristique nulle et soit A une matrice de $M_n(K)$, de polynôme caractéristique $\chi_A$ et de décomposition de Dunford $D+N$. On pose $P:= \frac{\chi_A }{\chi_A\wedge\chi_{A}' }$ et l'on considère la suite de matrices $(A_r)$ donnée par
$$ A_0=A, \quad A_{r+1}=A_r-P(A_r)P'(A_r)^{-1}$$
Alors, cette suite est bien définie, elle est stationnaire et tend vers D. (Plus précisément, $A_m=D$ pour tout $m\geq \log_2(n)$

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  • Remarque :
    Il y a un pdf complet, avec l'implémentation algorithmique du résultat et des applications à l'adresse suivante : http://math.univ-lyon1.fr/~ressayre/PDFs/dun.pdf
    Référence : Caldéro Germoni-Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et Géométries, page 162

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre pour la licence 3 , Risler (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 34 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 56 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)