Leçon 155 * : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

(2018) 155

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.) Dans cette leçon, on attend des exemples naturels d’endomorphismes diagonalisables et des critères de diagonalisabilité. On peut étudier certaines propriétés topologiques en prenant le soin de donner des précisions sur le corps K et la topologie choisie pour $M_n(K)$. Le calcul de l’exponentielle d’un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l’on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l’aide des projecteurs spectraux. Sur les corps finis, on a des critères spécifiques de diagonalisabilité. On peut dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide.

(2016 : 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.) Dans cette leçon, on attend des exemples naturels d’endomorphismes diagonalisables et des critères de diagonalisabilité. On peut étudier certaines propriétés topologiques en prenant le soin de donner des précisions sur le corps $K$ et la topologie choisie pour $M_n(K)$. Le calcul de l’exponentielle d’un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l’on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l’aide des projecteurs spectraux. Sur les corps finis, on a des critères spécifiques de diagonalisabilité. On peut dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide.
(2015 : 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.) Il faut ici pouvoir donner des exemples naturels d'endomorphismes diagonalisables et des critères de diagonalisabilité. On peut coir que le calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l'on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l'aide des projecteurs spectraux. On peut sur le corps des réels et des complexes donner des propriétés topologiques. Mentionnons que l'affirmation "l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(K)$ est dense dans $M_n(K)$" nécessite quelques précisions sur le corps K et la topologie choisie pour $M_n(K)$. Sur les corps finis, on a des critères spécifiques de diagonalisabilité. On peut dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation. Le lien peut aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide.
(2014 : 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.) Il faut pouvoir donner des exemples naturels d'endomorphismes diagonalisables et des critères. Le calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable est immédiat une fois que l'on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice, par exemple à l'aide des projecteurs spectraux. On peut sur le corps des réels et des complexes donner des propriétés topologiques, et sur les corps finis, dénombrer les endomorphismes diagonalisables, ou possédant des propriétés données, liées à la diagonalisation. Mentionnons que l'affirmation "l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(K)$ est dense dans $M_n(K)$" nécessite quelques précisions sur le corps $K$ et la topologie choisie pour $M_n(K)$.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.


2017 : Leçon 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.


2016 : Leçon 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.


2015 : Leçon 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    6 minutes: Je n'avais pas eu le temps de les préparer donc elles n'étaient pas terribles, je pense avoir dit des choses intéressantes mais pas au bon moment.

    Développement: Je le connaissais bien je l'ai fait dans les temps et je pense l'avoir fait proprement. Je me suis juste trompée dans l'injectivité j'ai pas pris le bon polynôme interpolateur mais ils ne m'en ont pas voulu.

    Questions développement:
    Jury: Quelle norme vous utilisez?
    Moi: La norme 2 c'est à dire la norme subordonnée à la norme euclidienne qui est égale à la racine du rayon rayon spectral de ...
    J: Vous avez une idée de comment ça se démontre?
    M: Décomposition polaire
    J: Pour la surjectivité où est ce que l'on se sert de l’hypothèse de défini positivité?
    M: Pour définir le logarithme des valeurs propres.

    Questions Plan:
    J: Est ce que que vous avez un critère de diagonalisation sur F_p?
    La réponse était une matrice A à coeff dans F_p est dzable ssi A^p=A. Je ne l'ai pas trouvé mais j'ai su le démontrer.

    J: Dans mon plan vous avez défini la semi-simplicité par la diagonalisation dans une extension dans K (c'est juste mais c'est pas la définition usuelle), est ce que vous avez une autre caractérisation de la semi simplicité avec les polynômes?
    M (avec de l'aide): A est semi simple ssi son polynôme minimal est sans facteur carrés.
    J: Montrez le.
    Là j'ai pas mal galérer, il fallait passer par une caractérisation avec des sous espaces stables, mais avec beaucoup d'aide j'ai fini par m'en sortir.
    J: Vous avez mis dans votre plan que Dn(C) est dense dans Mn(C), est ce que Dn(R) est dense dans Mn(R)?
    M: Je sais qu'on utilise le fait que C soit algébriquement clos dans la preuve...
    J: Oui donc la preuve sur C ne marche pas sur R. Trouvons un ct-ex en dimension 2.
    J'ai ressorti une matrice que j'avais mise dans mon plan qui avais pour valeurs propres +/-i, j'ai calculé le polynôme caractéristique car ils n'avaient pas l'air convaincus.
    J: Ok et pourquoi on ne peut pas approcher cette matrice par une suite de D_n(R)?
    M (avec de l'aide): Si A_k est une suite de matrices de D_n(R) alors pour tout k le polynôme caractéristique de A_k est à racines réelles or l'application qui a une matrice associe son polynôme caractéristique est continue
    J: Et qu'est ce que vous utilisez pour savoir si un polynôme de degré 2 a des racines réelles ?
    M: Ah oui! Le discriminant qui lui aussi est continue donc la limite d'une suite de matrice de D_n(R) ne peut pas être ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympathique, ils savaient quand aider et quand laisser réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un très bon tirage, cette leçon était l'une des leçons que je connaissais le mieux! Et je maitrisais les 2 développements. Malgré ça écrire le plan et réviser les 2 développements m'ont pris les 3h de la préparation, je n'ai donc ni eu le temps de réviser les preuves ni de préparer les 6 minutes. L'en-tête de la première page du plan prends de la place on ne peut donc pas écrire autant que ce que je pensais. Sinon pas de surprises.

  • Note obtenue :

    13