(2016 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($Z/nZ$, $\mathfrak{S}_n$, etc.) comme par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux.
S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ou les groupes $GL_n(F_q)$.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense.
Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis :
-qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence)
-le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z
Par rapport à la transformée de Fourier discrète:
-qu'est-ce que la Fast Fourier Transform?
-comment multiplier des polynômes avec?
-peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?)
Sur Sn :
-pouvez-vous donner un système minimal de générateurs?
-que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?
Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.
Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises:
-on a des tableaux blancs à marqueur
-pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan.
Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe.
La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer.
Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications).
Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow)
Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
15.75