Développement : Théorème de Brauer

Détails/Enoncé :

Soient $K$ un corps et $n$ un entier. On note $P_\sigma$ la matrice associée à la permutation $\sigma$ de $\mathfrak{S}_n$. Soient $\sigma$ et $\sigma' \in \mathfrak{S}_n$. Alors $\sigma $ et $\sigma'$ sont conjugués si et seulement si $P_\sigma$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables dans $M_n(K)$.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Je n'ai pas trouvé de références intéressante sur le sujet. Néanmoins, le développement n'est pas trop dur, donc ce n'est pas très grave.
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    Recasages : 105,106,101,108

    Développement très sympa, permet de parler des matrices de permutations (une application est l'existence dans le théorème de Sylow)
    Il y a une partie de la démo dans le Beck qui touche pas d'herbe : il faut penser à utiliser l'unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Q[X].

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/fffe793f-5951-4166-a899-d2ee9b4d7bfc/Theoreme_de_Brauer.pdf?id=7cbf3bee-8e32-40cb-8c5b-55d9c729d629&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=2aVbSv0pkXJpNdWJyvF3lkqWNVCV4zIkHsX7jWgn-Mw&downloadName=Théorème+de+Brauer.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    On montre la caractérisation des classes de conjugaison dans $S_n$, puis on l'applique pour démontrer le théorème de Brauer.

    C'est une version qui fait intervenir une égalité entre deux polynômes caractéristiques et une étude de multiplicité des racines pour aboutir à la conclusion. On fait plus que toucher de l'herbe, on se roule dedans.

    N'allez pas trop vite lors de l'oral, sinon le développement risque d'être trop court !

    Le Fresnel-Matignon fait dans le même exercice la démonstration du théorème de Brauer dans le cas $\mathbb K$ de caractéristique quelconque, et on peut voir que c'est beaucoup BEAUCOUP plus dur.
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