Leçon 150 * : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

(2018) 150

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.) Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss, méritent aussi d’être présentés dans cette leçon. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est pertinent de faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.

(2016 : 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.) Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...), d’autre part des algorithmes comme le pivot de Gauss. On peut aussi, si l’on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
(2015 : 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.) Cette leçon demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête. On pourra aussi travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
(2014 : 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.) Cette leçon n'a pas souvent été prise, elle demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 150 - Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.


2017 : Leçon 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.


2016 : Leçon 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.


2015 : Leçon 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 150 - Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au départ quelques questions pour préciser mon développement; il y avait deux notions de continuité avec le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, ils voulaient que je précise à nouveau alors que je l'avais dit oralement. De même une précision sur le fait qu'au tableau j'avais écrit que les deux matrices avaient les mêmes valeurs propres et je n'avais pas noté "avec même multiplicité" mais je l'avais dit oralement.
    Des précisions sur la matrice de passage qui est diagonale dans le cas du développement.

    Ensuite, des questions en rapport avec le développement. Je ne me rappelle plus de tout mais on m'a demandé si c'était possible de créer une norme qui vérifiait N(A) = N(Ap) pour toutes suites de matrices Ap semblable à A. La réponse était non en utilisant la deuxième partie du développement on arrivait au fait que la norme de toute matrice nilpotente est nulle ce qui est bien évidemment impossible (j'ai eu un bug sur la fin).

    On m'a demandé: Est ce qu'on a la même continuité qu'avec le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal? Je n'avais pas tout de suite bien compris la question. On a alors précisé la question: si j'ai une suite Ap semblable à A, alors est ce que le polynôme minimal de A va être le même que celui de la limite de Ap. J'ai dit que ça semblait faux puis j'ai trouvé un contre exemple.

    Après on m'a donné comme exercice: Soit A,B deux matrices, est ce que AB et BA sont semblables?
    C'est assez facile de voir que c'est vrai si elles sont inversibles.
    Ensuite si on suppose que AB est nulle est ce que c'est tout le temps vrai?
    On regarde les valeurs propres donc si on trouve BA non nulle avec AB nulle c'est faux. Un contre exemple en dimension 2 n'est pas trop dur à trouver. Pour m'aider on a essayé de m'indiquer le fait que l'image de B est incluse dans le noyau de A mais j'avais pas de suite compris et j'ai un peu galéré du coup.
    (j'ai aussi dit une grossière erreur en voulant aller vite, j'ai dit que si AB=0 alors A=0 ou B=0 et donc BA=0 mais je me suis repris assez vite)

    Après on m'a parlé un peu de mon plan. J'avais mis la relation par congruence, ils voulaient savoir ce que ça donnait quand on se restreint au groupe orthogonal. Il fallait parler du théorème spectral.
    Ensuite on me demande combien de matrices diagonales il y a dans l'orbite. J'ai instinctivement répondu une seule en disant que les valeurs propres restaient les mêmes dans l'orbite avant de me reprendre en précisant qu'il n'y avait qu'une seule matrice diagonale à permutations près des éléments de la diagonale.

    Enfin on revient encore sur mon plan, j'avais écrit que deux matrices semblables sur C le sont aussi sur R. C'est vrai mais je n'avais pas préciser que les matrices étaient réelles (ça paraissait obvious). Du coup ils m'ont demandé de l'écrire avant les quantificateurs et je me suis loupés en écrivant que les matrices étaient dans C... Donc après on me donne un contre exemple (en plus je fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique...), et là je capte enfin où est l'erreur!
    Puis on me demande une idée de la démonstration (je connaissais mais j'ai buggé à nouveau et j'ai pas réussi à conclure juste à l'oral).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était assez neutre. Il y avait deux hommes et une femme. Seul la femme souriait un peu quand je répondais correctement, c'est elle qui me posait le plus de questions. Un des homme ne m'a posé qu'une seule question mais voulait impérativement que je fasse le développement des classes de similitudes. Le dernier était très neutre, mais me donnait beaucoup de pistes pour m'aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le début de la préparation est déroutant, c'était ma première épreuve et je n'avais pas de suite réalisé que ça avait réellement commencé. J'ai été aussi surpris du fait que l'on se balade librement dans le couloir pour chercher ses livres.
    Enfin j'étais surpris du fait que l'on ne me pose aucune question ni sur le théorème de Lie-Kolchin, ni sur le lemme de Morse qui figuraient tous deux dans mon plan.

  • Note obtenue :

    13


2017 : Leçon 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury très sympathique et souriant ! J'ai donc fait comme DVPT la topologie des classes de similitude qui caractérise la réduction.
    Ensuite ils m'ont demandé un contre exemple
    rép: prendre une matrice 2x2 de polynome caractéristique X²+1 et donc elle est diagonalisable sur C mais pas sur R, donc sa classe de similitude sur C est fermée, mais sa classe de similitude réelle est l'intersection entre la complexe et Mn(R) donc est fermée.
    Il m'ont demandé de changer les hypothèses pour que le théorème marche tout le temps
    rép : il fallait considérer des endomorphismes semi-simples
    J'ai eu ensuite quelques exercices :

    1) on se place dans Fq^n, soit A=diag(1,0,..,0)
    calculer le cardinal de l'oribte de A dans l'action par conjugaison.
    rép: on a la formule : Orbite=Groupe/stab
    il suffit de calculer le stab de A qui est l'ensemble des matrices qui commutent avec A

    2)soient deux matrices semblables sur C, le sont elles sur R ?
    rép : oui, séparer en partie réelle et imaginaire, puis raisonner par l'absurde avec un polynome ayant une infinité de racines et est donc nul. puis conclure.

    3) comment caractériser les matrices symétriques réelle?
    rep: signature + sylvester

    4) démontrer sylvester

    5) On se place dans Op,q une orbite de cette action (forme quadratiques réelles)
    les orbites sont elles connexes?
    J'ai juste eu le temps de parler des cas les plus simples commes On,0 et O0,n

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury patient, souriant et m'aidait pendant les questions et me disaient lorsque je répondais juste !
    Il avait l'air de bonne humeur du coup moi aussi.
    J'avais plus l'impression d'échanger plutôt que de passer un concours.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai vraiment été surpris, je pensais me faire détruire lors de cette leçon, mais cela s'est bien passé. J'ai mis le plan à mon niveau sans mettre de choses que je ne maîtrisais pas et ça s'est plutôt bien passé !

  • Note obtenue :

    15


2016 : Leçon 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
    -Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
    -Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
    -Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
    -A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu sec tout au début quand j'avais pris des mauvaises notations dans mon plan sur les invariants de similitude et que je confonde action à droite et à gauche, mais après, avec les exercices, ils sont vite devenus assez enthousiastes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    18