Référence : Oraux X-ENS Algèbre 3

Générateurs du groupe Isom(E)

Développement :
Générateurs du groupe Isom(E)
Remarque :
C'est un poil différent du développement des générateurs de $O(E)$ ...
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- gen_isomE_scourte.pdf

Point de Fermat-Torricelli

Développement :
Point de Fermat-Torricelli
Références :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
- Géométrie analytique classique , Eiden
Fichier :
- point_fermat_torricelli_scourte.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Mis à jour le 31.05.17.
Ce théorème est classique. On ne peut pas tout faire en 15 min mais c'est un développement qui s'adapte suivant la leçon.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Ellipsoïde de John Loewner.pdf

Points extrémaux de la boule unité de L(E)

Développement :
Points extrémaux de la boule unité de L(E)
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Points_extremaux.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Ellipsoïde.pdf

Hahn Banach (version analytique) en dimension finie

Développement :
Hahn Banach (version analytique) en dimension finie
Références :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas

Composantes connexes des formes quadratiques réelles

Développement :
Composantes connexes des formes quadratiques réelles
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Composantes connexes d'une forme quadratique.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Ellipsoïde de John Loewner (152,158,170,171,203,219,229,253).pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Le développement est trop long pour être fait en détails en entier. Il faut choisir les parties à faire en détails selon la leçon présentée.
(pp222-229)
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Ellipsoïde de John Loewner.pdf

Le groupe SO3(R) est simple

Développement :
Le groupe SO3(R) est simple
Remarque :
Résultat facile à énoncer avec une démonstration sans calcul compliqué. Tout pour plaire quoi.
Plus sérieusement, le raisonnement est quand même un peu compliqué et repose sur ce lien surprenant entre la topologie de SO3(R) et sa structure de groupe.
(p67)
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Simplicité de SO3_R_.pdf

Le groupe SO3(R) est simple

Développement :
Le groupe SO3(R) est simple
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Simplicité de SO3 Francinou 3.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Ne pas perdre de temps.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- loewner.pdf

Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet

Développement :
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet
Remarque :
Recasages: 235, 236, 239

Faraut p99 (ma version préférée)
Bernis p259 (je n'aime pas l'approche de la preuve de la continuité en 0)
FGN p214

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
Fichier :
- Intégrale de Dirichlet par Laplace.pdf

Convexité logarithmique

Développement :
Convexité logarithmique
Remarque :
FGN Alg III p222
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas

Inégalité sur le déterminant avec Sn(R)

Développement :
Inégalité sur le déterminant avec Sn(R)
Remarque :
FGN alg III p220
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas

Générateurs de O(E) et SO(E)

Développement :
Générateurs de O(E) et SO(E)
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Générateurs ortho.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- John-Loewner.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Selon la leçon, je fais la preuve du lemme ou la formule du volume.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- John Loewner.pdf

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Développement :
Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien
Remarque :
Un développement pas si dur, que j'avais déjà croisé en deuxième année de prépa. Le fait qu'on puisse déduire la continuité des valeurs propres ainsi est selon moi très intéressant !
Références :
- Analyse matricielle , Rombaldi
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Courant-Fischer.pdf

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Le document est très long, il faut un peu adapter en fonction de la leçon (penser à faire le lemme pour la leçon sur les fonctions convexes mais il n'est pas nécessaire dans celle sur le déterminant par exemple). On utilise pas mal de résultats assez forts sur les formes quadratiques et les matrices symétriques mine de rien donc il faut y avoir réfléchi avant je pense.

Je le prends pour les leçons 149, 157, 170, 171,181, 219, 229 et 253.

La preuve se trouve page 229 pour le théorème et 222 pour le lemme.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- 10) Ellipsoïde de John-Loewner.pdf

Somme du déterminant de matrices symétriques positives (inégalité de Minkowski)

Développement :
Somme du déterminant de matrices symétriques positives (inégalité de Minkowski)
Remarque :
Exercice 3.32 page 223
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
Une version parmi tant d'autres, sans originalité. Il est possible de faire une preuve sans supposer l'ellipsoïde centrée en l'origine mais c'est plus dur (surtout pour l'unicité) et j'ai pas trouvé de réf alors j'ai abandonné. Attention aux coquilles
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- ellipsoide_loewner.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 2017_157.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Références :
Fichier :
- 2017_160.pdf

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Leçon :
Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 2017_171.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Mis à jour le 12.05.17
Références :
Fichier :
- 219.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Remarque :
Mis à jour le 29.05.17
Références :
Fichier :
- 203.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- L 150.pdf

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Leçon :
Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Remarque :
La partie sur les coniques est trop faible.
Références :
Fichier :
- L 171.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- L 203.pdf

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Leçon :
Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Remarque :
Plan qui ne va pas très loin sur les coniques, mais à mon avis ce n'est clairement pas le coeur de la leçon. Il faut juste au moins les mentionner, car c'est tout de même une application remarquable des formes quadratiques.
Références :
Fichier :
- Leçon 171.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 204.pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 170.pdf

123 : Corps finis. Applications.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 152_perso.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 229.pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Je suis passé devant ma classe sur cette leçon, encadré par Daniel Perrin lui-même ! :)

En ce qui concerne les coordonnées barycentriques de points particuliers dans les triangles, je trouve que le Tauvel n'est pas très clair. Il est important d'y avoir réfléchi par soi-même (ce n'est pas si difficile, et il existe des références sur internet).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_181.pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Mes développements (suite de polygones et Ellipsoïde de J-L) rentrent pas très bien dans cette leçon.
Références :
Fichier :
- b0 181.pdf

Oraux X-ENS Algèbre 3

Utilisée dans les 15 développements suivants :

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

Utilisée dans les 26 versions de développements suivants :

Théorème de Pfister

Générateurs de O(E)

Ellipsoïde de John Loewner

Le groupe SO3(R) est simple

Générateurs du groupe Isom(E)

Point de Fermat-Torricelli

Ellipsoïde de John Loewner

Points extrémaux de la boule unité de L(E)

Ellipsoïde de John Loewner

Hahn Banach (version analytique) en dimension finie

Composantes connexes des formes quadratiques réelles

Ellipsoïde de John Loewner

Ellipsoïde de John Loewner

Le groupe SO3(R) est simple

Le groupe SO3(R) est simple

Ellipsoïde de John Loewner

Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet

Convexité logarithmique

Inégalité sur le déterminant avec Sn(R)

Générateurs de O(E) et SO(E)

Ellipsoïde de John Loewner

Ellipsoïde de John Loewner

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Ellipsoïde de John Loewner

Somme du déterminant de matrices symétriques positives (inégalité de Minkowski)

Ellipsoïde de John Loewner

Utilisée dans les 24 versions de leçons suivantes :

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

123 : Corps finis. Applications.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.