Référence : Analyse fonctionelle

Densité des fonctions tests dans Lp

Développement :
Densité des fonctions tests dans Lp
Remarque :
Convolution.

réf : brézis en anglais
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- densite_dans_Lp_scourte.pdf

Hahn-Banach géométrique

Développement :
Hahn-Banach géométrique
Remarque :
Le plus difficile est encore de se souvenir de tous les points du lemme et de leurs démonstrations respectives.
(p5)
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Hahn-Banach géométrique.pdf

Projection sur un convexe fermé

Développement :
Projection sur un convexe fermé
Références :
- Topologie et analyse, 3ème année, Skandalis
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Projection convexe.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Remarque :
Pour le cas fini, utilisation de la caractérisation des espaces de Banach par les séries absolument convergentes.
Références :
- Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Riesz-Fischer.pdf

Propriétés des opérateurs compacts

Développement :
Propriétés des opérateurs compacts
Remarque :
On ne va pas se cacher que ce développement est vraiment difficile (et long) : j'aurais tendance à le déconseiller si vous n'avez jamais vu d'opérateurs compacts ou si vous n'êtes pas à l'aise avec. En effet, il y a quelques résultats non triviaux admis, et il faut savoir en donner des idées de démonstration. De plus, il faut savoir répondre à des questions sur les opérateurs compacts.

J'ai choisi de faire un développement sur ce sujet car c'est un peu mon domaine de prédilection, mais je rappelle qu'il n'est pas du tout nécessaire d'être original à l'agreg pour obtenir de très bons résultats.

Selon moi : leçons 203, 206, 208 (2023).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Malartre_opérateurs_compacts.pdf

Enveloppe convexe de On(R)

Développement :
Enveloppe convexe de On(R)
Remarque :
Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur.

Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).
Références :
- Algèbre L3 , Szpirglas
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- 13) Enveloppe_convexe_On(R).pdf

Théorème de Lax-Milgram et une application

Développement :
Théorème de Lax-Milgram et une application
Remarque :
Attention si vous faites l'application du Bernis-Bernis, le Brézis dit qu'en fait en dimension 1 on peut toujours se ramener à l'équation classique de Sturm-Liouville :
\[
-(pu')' + qu = f \text{ sur }(0,1),
\]
qui se résout facilement grâce au Théorème de Riesz ! C'est pourquoi je propose une application en dimension $2$. Mes hypothèses ne sont pas forcément optimales mais ça suffit pour le développement je pense.
Références :
- Analyse fonctionnelle, Gilles Lacombes, Pascal Massat
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Lax-Milgram et EDP elliptique.pdf

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Développement :
Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar
Remarque :
Un résultat ultra pointu que l'on prouve de manière quasi-élémentaire (avec Hahn-Banach géométrique quand-même c'est pas non plus un théorème pour les enfants) et je trouve ça satisfaisant !
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Théorème de Fenchel-Rockafellar.pdf

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Développement :
Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar
Remarque :
Je poste ma version même si elle n'apporte sans doute pas grand chose par rapport à celle de Matoumatheux et qu'elle suit de très près la référence. J'ai juste modifié la deuxième partie de la preuve du lemme pour faire quelque chose de plus naturel pour moi. Attention aux coquilles
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- min-max_fenchel_rockafellar.pdf

Propriétés des opérateurs compacts

Développement :
Propriétés des opérateurs compacts
Remarque :
Ce développement est assez difficile. Dans mon document, je détaille un certain nombre de propriétés sur le spectre des opérateurs compacts. Pour en faire un développement il faut en choisir quelque une et les démontrés. Cela demande de se tester sur 15min. Pour savoir quoi montrer en 15 min je conseille de regarder la version de Malartre.
Le lien vers mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
Fichier :
- Développement.pdf

Représentation des fonctions lipschitziennes

Développement :
Représentation des fonctions lipschitziennes
Remarque :
Très jolie développement mais qui demande quelque résultat sur les distributions. De plus il n'y a pas vraiment de bonne référence, mais dans le Brézis on peut trouver la preuve de quasiment toutes les étapes séparément.
Le lien pour mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Référence :
- Analyse fonctionelle , Brézis
Fichier :
- Développement.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
- Analyse fonctionelle , Brézis
- Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
Fichier :
- Théorème de Riesz Fischer.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Remarque :
Document LateX non vérifié par un professionnel : attention aux coquilles !
Références :
- Analyse fonctionelle , Brézis
- Analyse réelle et complexe , Rudin
Fichier :
- Riesz_Fischer.pdf

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 205 - Espaces complets. Exemples et applications.pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
Fichier :
- 208 - espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 201_perso$.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 205_perso.pdf

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 213_perso.pdf

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Leçon :
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Références :
Fichier :
- 234_perso.pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Je suis passé devant ma classe sur cette leçon, encadré par Daniel Perrin lui-même ! :)

En ce qui concerne les coordonnées barycentriques de points particuliers dans les triangles, je trouve que le Tauvel n'est pas très clair. Il est important d'y avoir réfléchi par soi-même (ce n'est pas si difficile, et il existe des références sur internet).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_181.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Remarque :
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_209.pdf

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Leçon :
Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
Remarque :
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.
Références :
Fichier :
- Leçon 181.pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci (surtout celui-là, j'en suis vraiment pas convaincu !).
Références :
Fichier :
- Leçon 253.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 201.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Autre référence : Gasquet Witomski Analyse de Fourier
Références :
Fichier :
- Leçon 201.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 205.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Autre référence : Gasquet Witomski Analyse de Fourier.
Références :
Fichier :
- Leçon 205.pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 208.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 208.pdf

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Leçon :
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 234.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Autre référence : Gasquet Witomski Analyse de Fourier
Références :
Fichier :
- Leçon 234.pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
Un plan sur lequel je suis tombé pour mon troisième oral blanc. Ce plan est très dur, surtout la partie topologie faible ! Faire de la topologie faible dans des Hilbert est largement suffisant. Il y a également quelques coquilles dans mon plan (notamment sur le théorème de Kakutani qui est une équivalence, sans l'équivalence c'est juste le théorème de Banach-Alaoglu), et j'aurais peut-être dû mettre mon développement sur la courbe brachistochrone dans la partie optimisation en dimension infinie. En tous cas ce plan contient normalement tout ce qu'il faut, j'espère que ça vous sera utile.
Références :
Fichier :
- Lecon_253.pdf

Analyse fonctionelle

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

Utilisée dans les 16 versions de développements suivants :

Densité des fonctions tests dans Lp

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Espace H1 et problème de Dirichlet

Hahn-Banach géométrique

Projection sur un convexe fermé

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Propriétés des opérateurs compacts

Enveloppe convexe de On(R)

Théorème de Lax-Milgram et une application

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar

Propriétés des opérateurs compacts

Représentation des fonctions lipschitziennes

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Utilisée dans les 20 versions de leçons suivantes :

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.