Analyse fonctionelle

Brézis

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Enveloppe convexe de On(R)
Densité des fonctions tests dans Lp
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Théorème de Lax-Milgram et une application
Projection sur un convexe fermé
Hahn-Banach géométrique
Espace H1 et problème de Dirichlet
Représentation des fonctions lipschitziennes
Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar
Propriétés des opérateurs compacts

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Utilisée dans les 15 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    On ne va pas se cacher que ce développement est vraiment difficile (et long) : j'aurais tendance à le déconseiller si vous n'avez jamais vu d'opérateurs compacts ou si vous n'êtes pas à l'aise avec. En effet, il y a quelques résultats non triviaux admis, et il faut savoir en donner des idées de démonstration. De plus, il faut savoir répondre à des questions sur les opérateurs compacts.

    J'ai choisi de faire un développement sur ce sujet car c'est un peu mon domaine de prédilection, mais je rappelle qu'il n'est pas du tout nécessaire d'être original à l'agreg pour obtenir de très bons résultats.

    Selon moi : leçons 203, 206, 208 (2023).

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur.

    Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 20 versions de leçons suivantes :