Référence : Algèbre et géométrie

Groupe des isométries du cube

Développement :
Groupe des isométries du cube
Remarque :
Il faut bien penser à faire un dessin au début du développement pour mieux illustrer les résultats.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Référence :
- Algèbre et géométrie , Combes
Fichier :
- Groupe des isométries du cube.pdf

122 : Anneaux principaux. Applications.

Leçon :
Anneaux principaux. Applications.
Références :
Fichier :
- 2017_122.pdf

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

Leçon :
Exemples d’équations diophantiennes.
Références :
Fichier :
- L126.pdf

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Leçon :
PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
Références :
Fichier :
- 142.pdf

191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Leçon :
Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
Remarque :
Juste une proposition de plan pour une nouvelle leçon.
J'ai choisi de parler de géométrie algébrique par goût, mais je pense que c'est évitable, quitte a allonger les parties précédentes.
Références :
Fichier :
- 191 - Exemples d'utilisations de techniques d'algèbre en géométrie.pdf

161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.

Leçon :
Distances et isométries dun espace affine euclidien.
Références :
Fichier :
- 161 - Distances et isométries d'un espace affine euclidien. Exemples.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
Session 2021.
Références :
Fichier :
- 126.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Références :
Fichier :
- Leçon 126.pdf

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Leçon :
Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 108.pdf

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 104.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

Leçon :
Anneaux Z/nZ. Applications.
Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
Références :
Fichier :
- ZnZ.pdf

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
Remarque :
On s'oriente vers quelques groupes simples... sans parler des groupes simples plus "haut niveau".
Références :
Fichier :
- 104_perso.pdf

161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

Leçon :
Distances et isométries d’un espace affine euclidien.
Références :
Fichier :
- 161_perso.pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Pour le développement 1, la fonctionnelle est supposée concave et continue (pas quelconque)...
Références :
- Algèbre et géométrie , Combes
- Géométrie , Tauvel
Fichier :
- 181_perso.pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Je suis passé devant ma classe sur cette leçon, encadré par Daniel Perrin lui-même ! :)

En ce qui concerne les coordonnées barycentriques de points particuliers dans les triangles, je trouve que le Tauvel n'est pas très clair. Il est important d'y avoir réfléchi par soi-même (ce n'est pas si difficile, et il existe des références sur internet).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_181.pdf

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes finis. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon présentée en cours d'année
Références :
Fichier :
- 104.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Références :
Fichier :
- b0 126.pdf

161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.

Leçon :
Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
Références :
Fichier :
- b0 161.pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Mes développements (suite de polygones et Ellipsoïde de J-L) rentrent pas très bien dans cette leçon.
Références :
Fichier :
- b0 181.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Leçon :
Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
Références :
Fichier :
- 102.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Références :
Fichier :
- 126.pdf

122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

Leçon :
Anneaux principaux. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...

/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...

Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.
Références :
Fichier :
- Leçon 122.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications..pdf

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes finis. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 104 - Groupes finis. Exemples et applications..pdf

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Leçon :
Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
Remarque :
Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications..pdf

108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Leçon :
Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
Remarque :
Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications..pdf

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Leçon :
Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
Remarque :
J'ai fait l'impasse sur cette leçon, je l'ai quand même faite pour me donner bonne conscience et la satisfaction d'avoir fait les 70 leçons, mais je ne l'ai pas du tout travaillée. J'ai été très contrarié par le fait qu'ils avaient enlevé "Barycentres" de l'intitulé de leçon, je trouve franchement que ça ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire. Même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire.....
Quant aux développements, par 5 points passe une conique ça passerait si y avait encore barycentres dans le nom de la leçon... Mais là je pense que ça passe pas...
Krein-Millman ça passe bien, mais je ne l'ai que peu travaillé...
Je mets quand même ma version ici car je pense que la leçon est relativement ok (même s'il faut changer le DEV 1) mais on doit pouvoir trouver beaucoup mieux...
Références :
Fichier :
- Leçon 181.pdf

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Leçon :
Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
Remarque :
Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens, distances, isométries..pdf

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Leçon :
Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
Remarque :
Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 181 - Convexité dans R^n. Applications en algèbre et en géométrie..pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement..pdf

191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Leçon :
Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
Remarque :
Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 191 - Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie..pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse..pdf

Algèbre et géométrie

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

Utilisée dans les 5 versions de développements suivants :

Fermat pour n=2 et 4

Classification des groupes d'ordre 8

Table de caractères de D4 et H8

Résolution de l'équation de Fermat dans les cas n=2 ou 4

Groupe des isométries du cube

Utilisée dans les 35 versions de leçons suivantes :

122 : Anneaux principaux. Applications.

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.