Leçon 122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

(2023) 122

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.) Cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects théoriques. L'arithmétique des anneaux principaux doit être décrite et les démonstrations doivent être maîtrisées (lemme d'Euclide, théorème de Gauss, décomposition en irréductibles, PGCD et PPCM, équations de type $ax+cy= d$, etc. ). On doit présenter des exemples d'utilisation effective du lemme chinois. Les anneaux euclidiens représentent une classe importante d'anneaux principaux et l'algorithme d'Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées (par exemple, le lemme des noyaux ou la notion de polynôme minimal pour un endomorphisme, pour un endomorphisme relativement à un vecteur ou pour un nombre algébrique). Si les anneaux classiques Z et $K[X]$ doivent impérativement figurer, il est possible d'en évoquer d'autres (décimaux, entiers de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ ou d'Eisenstein $\mathbb{Z}[e^{2i\pi/3}$) accompagnés d'une description de leurs inversibles, de leurs irréductibles, en lien avec la résolution de problèmes arithmétiques (équations diophantiennes). Les candidates et candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant à l'étude des réseaux, à des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, la résolution des systèmes linéaires sur $\mathbb{Z}$ ou le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans un anneau principal peuvent être présentés en lien avec ce sujet.

(2022 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l'indique son intitulé, cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects théoriques. L'arithmétique des anneaux principaux doit être décrite et les démonstrations doivent être maîtrisées (lemme d'Euclide, théorème de Gauss, décomposition en irréductibles, PGCD et PPCM, etc.). Les anneaux euclidiens représentent une classe importante d'anneaux principaux et l'algorithme d'Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées (par exemple, le lemme des noyaux ou la notion de polynôme mini- mal pour un endomorphisme, pour un endomorphisme relativement à un vecteur ou pour un nombre algébrique). Si les anneaux classiques Z et $K[X]$ doivent impérativement figurer, il est possible d'en évoquer d'autres (décimaux, entiers de Gauss $Z[i]$ ou d'Eisenstein $Z[e^{2i\pi/3}]$) accompagnés d'une description de leurs inversibles, de leurs irréductibles et éventuellement d'applications à des problèmes arithmétiques (équations diophantiennes). S'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant à l'étude des réseaux, à des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans un anneau principal peut être présenté.
(2020 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l’indique son intitulé, cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects théoriques. L’arithmétique des anneaux principaux doit être décrite et les démonstrations doivent être maîtrisées (lemme d’Euclide, lemme de Gauss, décomposition en irréductibles, PGCD et PPCM, etc.). Les anneaux euclidiens représentent une classe importante d’anneaux principaux et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. Les applications en algèbre linéaire doivent être mentionnées (par exemple, le lemme des noyaux ou la notion de polynôme minimal pour un endomorphisme, pour un endomorphisme relativement à un vecteur ou pour un nombre algébrique). Si les anneaux classiques Z et K[X] doivent impérativement figurer, il est possible d’en évoquer d’autres (décimaux, entiers de Gauss Z[i] ou d’Eisenstein $Z[e^{2i\pi/3}]$ accompagnés d’une description de leurs inversibles, de leurs irréductibles et éventuellement d’applications à des problèmes arithmétiques (équations diophantiennes). $$$$ S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans un anneau principal peut être présenté.
(2019 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l’indique son intitulé, cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects théoriques. L’arithmétique des anneaux principaux doit être décrite et les démonstrations doivent être maîtrisées(lemme d’Euclide, théorème de Gauss, décomposition en irréductibles, PGCD et PPCM, etc.). Les anneaux euclidiens représentent une classe importante d’anneaux principaux et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées (par exemple, le lemme des noyaux ou la notion de polynôme minimal pour un endomorphisme, pour un endomorphisme relativement à un vecteur ou pour un nombre algébrique). Si les anneaux classiques $\textbf{Z}$ et $\textbf{K} [X]$ doivent impérativement figurer, il est possible d’en évoquer d’autres (décimaux, entiers de Gauss $ \textbf{Z} [i]$ ou d’Eisenstein $\textbf{Z} [e^{2i\pi/3}] $) accompagnés d’une description de leurs inversibles, de leurs irréductibles et éventuellement d’applications à des problèmes arithmétiques (équations diophantiennes). S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans un anneau principal peut être présenté.
(2017 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l’indique son intitulé, cette leçon n’est pas uniquement théorique. Il est possible de présenter des exemples d’anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d’Eisenstein), accompagnés d’une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées. Par exemple, les notions de polynôme minimal sont très naturelles parmi les applications. Les anneaux euclidiens représentent une classe d’anneaux principaux importante et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans certains anneaux peut être fait.
(2016 : 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.) Cette leçon n’est pas uniquement théorique, Il est possible de présenter des exemples d’anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d’Eisenstein), accompagnés d’une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées. Par exemple, les notions de polynôme minimal sont très naturelles parmi les applications. Les anneaux euclidiens représentent une classe d’anneaux principaux importante et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans certains anneaux peut être fait.
(2015 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) C'est une leçon où les candidats ont tendance à se placer sur un plan trop théorique. Il est possible de présenter des exemples d'anneaux principaux classiques autres que $\mathbb{Z}$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d'Eisenstein), accompagnés d'une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas, il serait bon que les candidats les illustrent. Par exemple, il est étonnant de ne pas voir apparaître la notion de polynôme minimal parmi les applications. Le candidat plus cultivé peut donner des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. A ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. On a pu noter dans cette leçon l'erreur répandue que $1+i$ et $1-i$ sont des irréductibles premiers entre eux dans l'anneau factoriel $\mathbb{Z}[i]$.
(2014 : 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.) Les plans sont trop théoriques. Il est possible de présenter des exemples d'anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d'Eisenstein), accompagnés d'une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas, il serait bon que les candidats les illustrent. Par exemple, il est étonnant de ne pas voir apparaître la notion de polynôme minimal parmi les applications. On peut donner des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. A ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. On a pu noter dans cette leçon l'erreur répandue que $1+i$ et $1-i$ sont des irréductibles premiers entre eux dans l'anneau factoriel $Z[i]$.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime bien cette leçon, les démonstrations sont pas hyper compliquées et se retiennent bien pour la plupart.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Leçon faites en tout début d'année. La leçon est un peu longue mais j'aime beaucoup l'esprit du plan. Le I peut être entièrement fait avec Berhuy Algèbre le grand combat. J'aime beaucoup le II, on part du cas le plus général et petit à petit on s'approche du cadre "idéal" qui est le cadre euclidien. A chaque cadre différents on a une nouvelle manière de trouver le pgcd. Ca donne un côté très évolutif à la leçon. Pour les applications (III) il y'a de quoi faire mieux. J'ai retiré lemme des noyaux en dev, j'ai ajouté système de congruence dans le cas général. Pour faire cette 3eme partie j'aurais fait quelques chose comme dans mes leçons 120 et 142.
    A remarquer que cette leçon est assez semblable à la 142.
  • Fichier :

2023 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2020 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pour les références:
    - Combes (Algèbre et Géométrie, principalement)
    - Perrin
    - Saux-Picart (Calcul dans un anneau euclidien)
    - Serre (Les matrices, pour les facteurs invariants)
    - Gourdon (Algèbre, Pour lemme des noyaux)
  • Fichier :

2018 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2017 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2016 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.


2015 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le théorème des deux carrés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Lorsque j'ai fini mon développement on m'a demandé d'éclaircir quelques points où j'avais oublié quelques détails puis nous sommes passés sur des questions.
    Le jury m'a demandé de redémontrer que Z[i] était un anneau euclidien puis ensuite on a regardé les idéaux premiers de Z[i] : le jury m'a demandé de montré tout d'abord que pour A un anneau, B un sous-anneau de A et p un idéal premier de A, B \cap p était un idéal premier de B. On a ensuite appliqué cela avec A = Z[i] et B = Z. Il fallait montré que p était engendré par un nombre premier q et on a ensuite étudié le cas où q était congru à 1 modulo 4 puis 3 modulo 4. Enfin, on a terminé l'oral en me demandant quelle était la propriété vérifiée par les anneaux principaux que les anneaux euclidiens ne vérifient pas.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été plutôt muet et neutre et n'intervennait qu'assez rarement. Cependant lorsque le jury me donnait des indications je sentais dans la voix qu'ils étaient assez bienveillants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris au début par le jury qui paraissait plutôt neutre et blasé mais j'ai compris ensuite qu'ils essayaient d'être le plus neutre possible.

  • Note obtenue :

    15.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 449 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 307 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 104 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 399 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 274 versions au total)
Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 40 versions au total)
Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 25 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 105 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 133 versions au total)
Elements de théorie des anneaux , Calais (utilisée dans 6 versions au total)
Algèbre , Lang (utilisée dans 4 versions au total)