Développement : L'unique entier entre un carré et un cube

Détails/Enoncé :

Les solutions de l'équation diophantienne

\[x^2 + 2 = y^3 \]

sont exactement les couples $(\pm 5, 3)$.

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Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

Version de ZagZag

Auteur :
ZagZag
Remarque :
[pdf à venir]
La preuve utilise fortement la factorialité de $\mathbb Z [i\sqrt2]$ (qui provient de son caractère euclidien) ainsi que l'existence d'un pgcd sur un anneau factoriel. On montre facilement que cette équation revient à déterminer les entiers situés entre un carré et un cube parfaits.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Version de CloudSea

Auteur :
CloudSea
Remarque :
Développement assez cool qui permet de remplir les leçons d'anneaux. Je le recase aussi dans nombres remarquables
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- 26 est l'unique entier entre un carré et un cube.pdf

Version de C. Bergeron

Auteur :
C. Bergeron
Remarque :
Développement assez fun qui est une version cousine de l'étude de Z[i] (en plus d'être un peu plus originale). C'est un développement qui se recase assez bien dans les leçons d'algèbre générale, et qui de plus n'est pas très dur à apprendre.
J'ai mis dans mon pdf deux versions possibles du développements, suivant si vous êtes à l'aise avec la forme de Smith. Celle avec la forme de Smith a le mérite de se recaser en 122 (l'autre aussi, mais c'est beucoup plus dur à justifier si le jury est très tatillon)
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Entier entre un carré et un cube.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 114 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 187 versions au total)