Développement : Critère d'Eisenstein

Détails/Enoncé :

Soit $A$ un anneau factoriel, $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in A[X]$ et $p \in A$ premier.
Si $p \not| a_n$ et $p | a_i, \forall i < n$, et $p^2 \not| a_0$, alors $P$ est irréductible dans $Frac(A)[X]$.

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    D'après moi pour les leçons : 122, 125 et 141.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Je suis tombé dessus à l'oral d'algèbre. Faut bien justifier lorsque l'on fait la preuve du critère à expliquer pourquoi tout nos polynômes sont nécessairement des monômes, c'est là où j'avais personnellement bégayé.

    Attention aux coquilles !
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  • Remarque :
    Développement à adapter selon la leçon dans laquelle il est présenté.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 128 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 346 versions au total)