Développement : Critère d'Eisenstein

Détails/Enoncé :

Soit $A$ un anneau factoriel, $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in A[X]$ et $p \in A$ premier.
Si $p \not| a_n$ et $p | a_i, \forall i < n$, et $p^2 \not| a_0$, alors $P$ est irréductible dans $Frac(A)[X]$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    D'après moi pour les leçons : 122, 125 et 141.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Je suis tombé dessus à l'oral d'algèbre. Faut bien justifier lorsque l'on fait la preuve du critère à expliquer pourquoi tout nos polynômes sont nécessairement des monômes, c'est là où j'avais personnellement bégayé.

    Attention aux coquilles !
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    Développement à adapter selon la leçon dans laquelle il est présenté.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Un joli développement, et qui présente l'avantage d'être très adaptable : il peut être présenté sous plusieurs versions selon les leçons dans lesquelles il est présenté, et votre rapidité en mettant plus ou moins d'exemples. Mon conseil quand même : prenez votre temps, il y a plein de petites choses intéressantes à expliquer, ça vaut mieux à mon avis que de présenter x exemples... J'avais décidé de ne montrer que le critère, sans application a priori, mais des applications doivent être gardées sous le coude ; si on va trop vite, je pense que ça peut sauver : montrer que l'on peur trouver des polynômes irréductibles dans Q de tout degré (ultra rapide avec $X^n-2) ou alors des histoires de cyclotomie...
    J'ai décidé de le présenter dans le cas général des anneaux factoriels, ce qui amène une petite subtilité théorique, mais que le Perrin explicite convenablement. Evidemment, si on le présente dans la leçon Z/nZ (ce qui peut se justifier je pense) il est fort maladroit de le montrer dans un anneau factoriel général... A l'inverse, présenter la version dans Z pour la leçon sur les anneaux principaux est un peu frustrant. Il faut savoir adapter sa version.
    Pour les recasages à mon avis:

    Anneaux Z/nZ (mais on peut quand même trouver mieux dans cette leçon je pense)
    Anneaux principaux (c'est toujours un débat, après tout le caractère principal de l'anneau n'est pas utilisé...)
    PGCD/PPCM (la notion de contenu est la notion clef du développement, et c'est un PGCD, donc ça me semble pertinent, et franchement mieux que le théorème des restes chinois pour ne citer qu'un exemple.....)
    Polynômes irréductibles à une indéterminée
    Nombres premiers
    Par contre, extensions de corps, je ne vois pas le rapport...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 144 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 440 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 338 versions au total)