Leçon 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

(2018) 141
(2020) 141

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\textbf{F}_2$ ou $\textbf{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $\textbf{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.

(2017 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que C; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2016 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $C$ ; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $Q$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base télescopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2015 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Le jury attend dans cette leçon un bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition (la preuve de l'unicité de ce dernier n'est pas exigée), ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis). Attention à ne pas croire qu'un polynôme réductible admet forcément des racines (même en dehors du cadre de cette leçon !). sBien entendu, les corps finis ont une place de choix et il sera instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré $2,3,4$ sur $\mathbb{F}_2$, ou $\mathbb{F}_3$. Il faut savoir qu'il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $\mathbb{C}$ se savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.
(2014 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les applications ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autre que $C$. Un polynôme réductible n'admet pas forcément de racines. Il est instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ . Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.

Plans/remarques :

2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2018 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2016 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2015 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé est disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas trop agréable, avec des visages très fermés même si j’ai réussi à décrocher un sourire à un des trois sur l’histoire d’un Fp-espace-vectoriel de dimension fini. Pas beaucoup d’aide pour répondre, j’ai du tout chercher tout seul. Des fois, ça allait vite, des fois un peu moins.Sur le coup, ça ne m’a pas marqué, mais avec le recul, je me suis rendu compte que je n’ai pas eu beaucoupde questions sur les polynômes irréductibles, mais surtout sur de la factorialité, le pgcd, les éléments/idéaux irréductibles et premiers, corps finis, etc

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.