Développement : Racines de l'unité dans l'extension cyclotomique

Détails/Enoncé :

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\zeta := \operatorname{exp}(\frac{2i\pi}{n})$. Les racines de l'unité dans le corps cyclotomique $\mathbb Q(\zeta)$ sont en nombre fini, il s'agit exactement des éléments $\pm \zeta^k$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$.
Ainsi, il y en a $n$ si $n$ est pair, $2n$ sinon, et elles sont toutes en fait dans $\mathbb Z[\zeta]$.

La preuve du résultat nécessite principalement l'étude de l'indicatrice d'Euler (d'où certains recasages).

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