Leçon 121 : Nombres premiers. Applications.

(2023) 121
(2025) 121

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon, souvent appréciée des candidats, est très vaste. Elle doit donc être abordée en faisant des choix qui devront être clairement motivés. Des conjectures classiques ont aussi leur place dans cette leçon. On peut définir certaines fonctions importantes en arithmétique, les relier aux nombres premiers et illustrer leurs utilisations. Il est particulièrement souhaitable de s'intéresser aussi aux aspects algorithmiques du sujet (tests de primalité). En plus d'une étude purement interne à l'arithmétique des entiers, il est important d'exhiber des applications dans différents domaines : théorie des corps finis, théorie des groupes, arithmétique des polynômes, cryptographie, etc. La réduction modulo p n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers doit être évoquée : certains résultats sont accessibles dans le cadre du programme du concours, d'autres peuvent être admis et cités pour leur importance culturelle.

(2020 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon, souvent appréciée des candidats, est très vaste. Elle doit donc être abordée en faisant des choix qui devront être clairement motivés. La répartition des nombres premiers doit être évoquée : certains résultats sont accessibles dans le cadre du programme du concours, d’autres peuvent être admis et cités pour leur importance culturelle. On peut définir certaines fonctions importantes en arithmétique, les relier aux nombres premiers et illustrer leurs utilisations. Il est particulièrement souhaitable de s’intéresser aussi aux aspects algorithmiques du sujet (tests de primalité). En plus d’une étude purement interne à l’arithmétique des entiers, il est important d’exhiber des applications dans différents domaines : théorie des groupes, arithmétique des polynômes, cryptographie, etc. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples.
(2019 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon, souvent appréciée des candidats, est très vaste. Elle doit donc être abordée en faisant des choix qui devront être clairement motivés. La répartition des nombres premiers doit être évoquée : certains résultats sont accessibles dans le cadre du programme du concours, d’autres peuvent être admis et cités pour leur importance culturelle. Des conjectures classiques ont aussi leur place dans cette leçon. On peut définir certaines fonctions importantes en arithmétique, les relier aux nombres premiers et illustrer leurs utilisations. Il est particulièrement souhaitable de s’intéresser aussi aux aspects algorithmiques du sujet (tests de primalité). En plus d’une étude purement interne à l’arithmétique des entiers, il est important d’exhiber des applications dans différents domaines : théorie des corps finis, théorie des groupes, arithmétique des polynômes,cryptographie, etc. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples.
(2017 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon est très vaste. Aussi les choix devront être clairement motivés. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important qu’il faudrait citer. Sa démonstration n’est bien sûr pas exigible au niveau de l’agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.
(2016 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Le sujet de cette leçon est très vaste. Aussi les choix devront être clairement motivés. La réduction modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important qu’il faudrait citer. Sa démonstration n’est bien sûr pas exigible au niveau de l’agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.
(2015 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Il s'agit d'une leçon pouvant être abordée à divers niveaux. Il y a tant à dire sur la question que le candidat devra fatalement faire des choix. Attention toutefois à celui des développements, ils doivent être pertinents ; l'apparition d'un nombre premier n'est pas suffisant ! La réduction modulo p n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu'il faudrait citer. Sa démonstration n'est bien sûr pas exigible au niveau de l'agrégation. Quelques résultats sur les corps finis et leur géométrie sont les bienvenus, ainsi que des applications en cryptographie.
(2014 : 121 - Nombres premiers. Applications.) Il s'agit d'une leçon pouvant être abordée à divers niveaux. Attention au choix des développements, ils doivent être pertinents (l'apparition d'un nombre premier n'est pas suffisant !). La réduction modulo $p$ n'est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmétiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu'il faudrait citer. Sa démonstration n'est bien-sûr pas exigible au niveau de l'Agrégation. Quelques résultats sur la géométrie des corps finis sont les bienvenus.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Comme l'indique le rapport du jury : dans cette leçon, "il faut faire des choix".

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Leçon cool je trouve, il y'a pas mal de chose à dire. La partie sur Sylow peut être retiré (pas au programme), mais si on sait se servir de ces résultats je pense que c'est cool d'en parler.
  • Fichier :

2023 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2020 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2018 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2017 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2016 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


2015 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Remarque: ceci est un retour sur la session 2024 non 2023, je sais pas lire désolé.

    Le jury a choisi le théorème de Dirichlet faible (ma version est celle du FGN), le développement s'est déroulé sans problèmes.
    Pour les questions sur le développement :
    - le jury m'a demandé de repréciser pourquoi, lorsque l'on montre que l'ordre de $a$ est exactement $n$, si $p$ ne divise pas $\Phi_{d'}(a)$ alors le produit sur les $d'$ divisant $d$ est également non nul modulo $p$. J'ai évoqué, comme c'est le cas dans la référence et dans les divers versions de ce développement sur ce site, le fait que $\mathbb{F}_p$ soit un corps (intégrité), cela n'a pas vraiment convaincu le jury mais comme visiblement je n'arrivais pas à donner l'argument qu'ils attendaient ils sont passés à autre chose (j'ai très certainement perdu des points là dessus car j'étais persuadé que cet argument fonctionnait mais le jury n'était pas d'accord peu importe ce que je leur disais...)
    - ensuite ils m'ont demandé pourquoi on avait le droit de choisir $a$ de telle sorte que $\Phi_{d}(a)$ soit différent de $0$, $1$ ou $-1$ (nombre fini de racines).
    On est ensuite passé aux questions sur le plan et exercices.

    Questions sur le plan :
    - le jury m'a demandé de démontrer les résultats sur les polynômes cyclotomiques utilisés dans le développement que j'avais aussi mis dans le plan (la formule avec $X^n-1$ et le font qu'ils sont unitaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ par récurrence et division euclidienne, facile à faire)
    - je parlais des tests de primalité dans mon plan et un des membres du jury m'a demandé si je connaissais un critère pour savoir où fallait-il s'arrêter pour connaître la primalité ou non d'un entier n, il s'agissait du résultat avec racine de n (voir Rombaldi par exemple). Évidemment je l'ai oublié et on a perdu 5 bonnes minutes pour que j'essaye de m'en rappeler alors que c'est un résultat très simple, j'ai dû perdre pas mal de points là dessus.
    - je mentionnais également les carrés dans les corps finis (le paragraphe du Perrin copié-collé) et le jury m'a demandé de reprouver le cardinal des carrés non nuls de $\mathbb{F}_q$ (j'ai réussi à le faire) et l'oral s'est terminé sur ça.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extrêmement bienveillant et donnait de l'aide alors que j'étais très nul sur deux questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tout est très bien organisé, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    12


2022 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Après le développement sur le théorème des 2 carrés (pour les nombres premiers), on me demande d'expliquer à l'oral comment en déduire le théorème général sur les entiers (qui était dans mon plan comme corollaire). J'arrive à expliquer dans les grandes lignes.

    Ensuite j'ai eu quelques exercices d'arithmétique, quelques exercices sur les p-groupes (j'en parlais un peu dans mon plan), et quelques exercices sur le symbole de Legendre. J'ai à peu près tout réussi, parfois avec l'aide du jury.

    Le jury tenait à poser des exercices uniquement en lien avec ce qui était dans mon plan. Il faut donc bien orienter le plan vers des choses que l'on aime (ce qui est possible sur cette leçon qui est très large), et que l'on maitrise ! Par exemple ma partie sur les p-groupes était assez courte et je n'énonçais que des résultats assez simples, mais j'ai quand même eu beaucoup d’exercices dessus, certains assez poussés. C'est vraiment important de maîtriser chaque notion dont on parle.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait beaucoup, il ne laissait jamais réfléchir plus d'une minute. Il y avait donc un échange permanent, ce qui était plutôt agréable et permettait d'avancer vite et de faire beaucoup d'exercices. Le jury était cependant très neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, tout était bien organisé.
    J'ai fait un plan en 2h15, sans trop me presser, même si je n'avais pas du tout préparé cette leçon avant et que j'ai donc du prendre un peu de temps pour réfléchir à l'organisation du plan. Ensuite pendant 30 min j'ai refait sur feuille chacun de mes développements, 2 fois, et enfin sur le quart d'heure restant j'ai relu mon plan et corrigé quelques bricoles, et réfléchi un peu dans ma tête à ce que j'allais pouvoir dire pendant les 6 min de présentation.

  • Note obtenue :

    16


2020 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Vous dites que Z[X] n'est pas euclidien, mais qu'on peut quand même faire une division euclidienne avec ce polynôme. Expliquer.
    - A-t-on toujours unicité de cette "décomposition euclidienne" ?
    - Vous avez précisé que vous pouvez appliquer cette égalité de polynômes car les "racines sont simples", expliquez. (un détail qui manquait de précision dans mon dev pour montrer que X^n-1 = produit des phi_d)
    - Calculer phi_6 (utiliser la formule précédente et tripatouiller un peu pour trouver phi_6(X) = 1-X+X²
    - Montrer que les triangulaires supérieures à diagonale unité forment un p-Sylow de GL_n(F_p) (c'était dans mon plan)
    - Existe-t-il un corps à 10 éléments ?
    - 17 est-t-il un carré modulo 41 ? (j'ai pris l'initiative de montrer que 41 était bien premier avant, puis avec la réciprocité quadratique, c'était tout bon)
    - Posons p=41. Ecrivez F_41² comme quotient de F_41 par quelque chose (direct avec la question précédente: X²-17 est irréductible car 17 n'est pas un carré modulo 41)
    - Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6 (poser n = 6 p_1 ... p_n + 5 si il y en a un nombre fini, et décomposer n en produit de nombres premiers, en remarquant que ces nombres premiers sont tous congrus à 1 modulo 6).
    - La dernière était était bizarre, et j'avais absolument aucune idée. Il m'a demandé s'il y avait "beaucoup" de nombres premiers à 10 chiffres. L'oral s'est terminé là-dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriant et sympathique, en particulier celui du milieu qui semblait "diriger" la séance. Les deux autres étaient un peu plus muets et distants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    A part le fait que j'ai réalisé cet oral sur un tableau blanc (d'autant que les trois quarts de ces foutus feutres n'avaient plus d'encre), tout s'est bien passé.

  • Note obtenue :

    15.75


2019 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai fait des erreurs de notation dans mon développement et dans mon plan, notamment un problème de définition du symbole de Legendre ; on a passé un certain temps - 10/15 minutes je dirais - à remettre tout ça en ordre. POur ce qui est des questions, je me souviens de celles-ci :
    - Expliquer rapidement la démonstration de la classification des formes quadratiques sur un corps fini
    - 15 est-il un carré modulo 37 ? (et montrer que le symbole de Legendre est multiplicatif)
    - Donner une application du théorème de Cauchy sur les groupes : je n'en avais pas, j'ai fais quelques remarques sur le résultat (notamment dit que c'était une réciproque partielle du théorème de Legendre) ; on m'a demandé d'expliquer pourquoi dans un groupe abélien fini le produit de 2 éléments dont les ordres sont premiers entre eux est un élément d'ordre le produit des ordres, avec un contre-exemple dans le cas non abélien
    - A la fin : s'inspirer de la démonstration du théorème des 2 carrés pour trouver les nombres premiers irréductibles dans Z[sqrt(d)] ; après quelques remarques et indications, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury globalement souriant, plutôt vers la fin qu'au début je dirais, mais jamais désagréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était le 1er jour de canicule, j'ai dû aller me mettre de l'eau sur le visage plusieurs fois pour ne pas avoir trop chaud ; il faut bien penser à boire et à manger pendant la préparation (on oublie facilement dans ces circonstances) pour éviter de se sentir faible devant le jury

  • Note obtenue :

    17.75

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Niveau développement, le jury avait le choix entre : "Le critère d'Eisenstein et l'application à l'irréductibilité de $\Phi_p$" ou "Le théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)"...

    J : Sur le développement, pourquoi $p$ divise les coefficient $q_i$ et $r_i$ ? Par exemple que se passerait-il si $p=8$ ?
    R du candidat : En particulier comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ est un anneau principal donc factoriel et il y a alors l'unicité de la décomposition en irréductibles. Pour $p=8$, j'exhibe un contre-exemple simple, ce qui montre l'importance de $p$ nombre premier. (Le jury ne semble pas convaincu).

    J : Rappeler pourquoi $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $k\in [1,p-1]$ ? (Par rapport à l'irréductibilité de $\Phi_p$ toujours dans l'application de mon développement).
    R du candidat : J'écris l'égalité du coefficient binomial à sa forme fractionnaire et fait passer le dénominateur de l'autre côté afin d'appliquer le lemme de Gauss élémentaire sur la divisibilité. Ils voulaient plus de précision, j'ai donc utilisé le théorème de Wilson (c'était dans mon plan) en précisant qu'on peut le démontrer par Bézout, pour justifier totalement la divisibilité initiale. (Le jury dit ok).

    J : Sur le plan pédagogique pourquoi avoir fait une sous-partie "nombres premiers entre eux" ?
    R du candidat : Je trouve que le titre "nombres premiers" est pas suffisamment précis, donc je trouve que c'est plutôt légitime d'en parler un peu. D'ailleurs je l'ai aussi fait, car si on prend le cas de deux nombres premiers, ils sont forcément premiers entre eux, et cela permet d'obtenir d'autre propriétés intéressantes sur l'arithmétique des entiers telles que le lemme chinois avec les problèmes de congruences ou encore les équations diophantiennes de degré 1. (Le jury dit ok).

    J : Comment savoir si un nombre est premier ?
    R du candidat : Je précise dans mon plan, qu'en partie 4, j'ai parlé de trois tests importants de manière logique et progressive dont un probabiliste (Fermat, Euler et Solovay-Strassen) mais qu'il existe des tests plus basiques comme le crible d'Eratosthène ou encore celui de la méthode des diviseurs premiers jusqu'à la partie entière de la racine du nombre. Exemple sur 113 où j'en profite pour rappeler les règles de divisions par $2$, $3$ et $5$ et aussi comment la division euclidienne peut être utile. (Le jury dit ok).

    J : D'ailleurs, pour une équation diophantienne de degré $1$, y a-t-il unicité du couple de solutions ?
    R du candidat : Non d'après le théorème de Bézout, il existe une infinité de couple d'entiers qui vérifie par exemple l'équation $ax+by=1$. On essaye par exemple sur $a=5$ et $b=7$ où on trouve des solutions particulières à la main (petits nombres) et on applique la méthode habituelle pour avoir la forme générale des couples de solutions. Au lieu de $1$ on peut prendre $d$ entier tel que $pgcd(a,b)$ divise $d$. (Le jury dit ok).

    J : Mais sinon y a-t-il des méthodes algorithmiques pour trouver de tels couples d'entiers ?
    R du candidat : On peut commencer par utiliser l'algorithme une division euclidienne jusqu'au dernier reste non nul et on fait ce qu'on appelle une remontée de Bézout. Mais algorithmiquement c'est lourd. Sinon de manière plus efficace on peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide. (Le jury dit ok et ne semble pas en vouloir plus).

    J : A quel autre domaine des mathématiques vous fait penser une équation de la sorte ?
    R du candidat : On peut penser notamment au domaine de l'algèbre linéaire notamment avec le cas des systèmes affines (ici). On reprend l'exemple de $a=5$ et $b=7$ et ils me demandent le noyau "du système". On trouve bien une droite linéaire. (Le jury dit ok).

    J : Ok, prenons l'équation $x^2+y^2=7z^2$. Quelles sont les solutions entières ?
    R du candidat : Le premier réflexe que j'ai c'est de passer modulo $7$ et c'est la bonne idée. Ils me précisent que l'on fait l'hypothèse qu'un des deux est inversible modulo $7$. Donc j'arrive une contradiction avec une propriété sur les carrés modulo $p=7$ (le fameux critère $p\equiv 1 \pmod 4$). Et je précise aussi que puisque $7$ est un nombre premier, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps donc un des deux $x$ ou $y$ est nécessairement divisible par $7$. Ils me demandent ensuite s'il n'y a pas une solution qui marche directement et je précise en effet que la triviale convient. On l'élimine donc et pour conclure l'exercice, j'ai du mettre en place comme je le précise au jury la méthode de "descente infinie" afin de terminer et s'apercevoir que seul $(0,0,0)$ marche. (Le jury dit ok).

    J : Expliquez RSA et sa sécurité ?
    R du candidat : J'explique plus en détails l'énoncé du plan car c'était peut-être mal rédigé et du coup c'est plus clair dans leur tête. Ensuite, je précise par rapport à la sécurité de RSA, que si un attaquant souhaitait intercepté le message (sans clé privée bien sûr) il devrait extraire une racine $e$-ième modulo $p$. C'est un problème type "log discret" qui est généralement "difficile". (Le jury dit ok).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient corrects et bienveillants. Ils m'ont donné des petites indications quand je mettais un peu de temps à répondre mais ils laissaient le temps de s'exprimer. Déçu qu'ils n'aient pas poser de questions sur la partie "théorie des anneaux" où les éléments premiers ne sont pas toujours ceux que l'on croit. Dommage car c'est une partie intéressante mais bon... Les trois jurys ont participé a la discussion. Au final, je pensais m'être débrouillé et avoir fait un oral correct (je pensais avoir au moins la moyenne par exemple) mais au vue de la note finale, on peut se fier à rien et encore moins à leur attitude (peut-être qu'ils n'ont pas accroché à mon approche de cette leçon, je ne sais pas). C'est la vie :'( ...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Il faut compter environ 2h40 pour composer (chercher les livres dans les malles ou dans son sac et faire attention au moment des photocopies). J'avais préparé sérieusement cette leçon pendant l'année en classe (de base j'étais allé plus loin, notamment dans les tests de primalités et les notions de factorisation de grands nombre ainsi que dans le domaine des racines modulo $p$) mais le jour-j, avec le stress, on en sait un peu moins que d'habitude et donc j'ai mis les résultats où j'étais sûr. Mais bon je ne sais pas si ça a changé grand chose au final. Donc je recommanderais, de bien s'entraîner au format 3h pendant l'année pour avoir aucune surprise...

    Sinon les surveillants dans les salles et ceux qui mènent à "l'abattoir" sont sympathiques et disponibles !

  • Note obtenue :

    4.25


2017 : Leçon 121 - Nombres premiers. Applications.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Chevalley-Warning

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement.
    Questions :
    - pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur)
    - trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier).
    - si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
    - quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$?
    2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ?
    4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques précisions sur le développement ont été demandées.
    Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois)
    -Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ )
    -Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) )
    -Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.)
    -Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\neq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.)
    -Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS)
    -Expliquer "méthode de Monte-Carlo" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond "Non", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond "Oui". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.)
    -Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.)
    -Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel )
    -Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. )
    -Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas)
    -Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant dans le fond.
    L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité.
    Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

  • Note obtenue :

    19


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 457 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 400 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 139 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 104 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 118 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 50 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 63 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 275 versions au total)
Cours d'algèbre , Demazure (utilisée dans 15 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 141 versions au total)
Théorie de Galois , Gozart (utilisée dans 7 versions au total)
Cours d'arithmétique , Serre (utilisée dans 12 versions au total)
Introduction à la théorie des nombres , De Koninek, Mercier (utilisée dans 2 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler (utilisée dans 9 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 23 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 212 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)