Développement : (Z/p^aZ)* est cyclique

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EWna

Recasages: 108, 120, 121

Rombaldi [2e édition] p292


Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Matthieu C.

Un très joli développement, je l'ai beaucoup apprécié! Il n'est pas spécialement compliqué, les petites étapes s'enchaînent plutôt bien, et on peut prendre son temps pour bien expliquer l'idée de la démonstration qui est somme toute assez simple. Le Perrin le fait plutôt bien, mais montre le cas k=1 dans la récurrence, que l'on n'utilise pas dans la récurrence, ce qui semble peu optimal.
On utilise un peu la fonction indicatrice d'Euler, préparez vous sur des questions dessus je pense.
Ce développement fait écho à un autre, qui donne tous les groupes de type (Z/nZ)* qui sont cycliques. Bien qu'intéressant, ce développement était trop long pour moi, c'est pourquoi j'ai préféré ne montrer que le fait que les (Z/p^aZ)* sont cycliques. En fait les autres s'en déduisent, mais ça peut être intéressant de s'y pencher dessus pour enrichir l'étude, d'autant plus que l'on a fait le plus dur en présentant ce développement. On peut imaginer même mettre la caractérisation des (Z/nZ)* cycliques en corollaire de ce développement dans le plan de la leçon (bon, appeler ça "corollaire", c'est peut-être un peu gonflé, mais vous comprenez l'idée^^)

Côté recasage à mon avis:
Exemple de parties génératrices d'un groupe
Anneaux Z/nZ
Nombres premiers

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.