Développement : Divergence de la série des inverses des nombres premiers

Détails/Enoncé :

Juste pour le plaisir

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement.

    Côté recasages à mon avis:
    Séries de nombres réels ou complexes
    VA discrètes
    Indépendance en proba
    Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon "nombres premiers" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement très sympathique, qui se recase dans de nombreuses leçons. Par contre, le développement est assez long. Ne démontrez surtout pas la proposition 2 durant votre exposé. Écrivez directement que $\displaystyle \zeta(\alpha) \underset{\substack{\alpha \rightarrow 1 \\ \alpha > 1}}{\sim} \frac{1}{\alpha-1}$, et précisez à l'oral que cet équivalent se démontre en effectuant une comparaison série intégrale. En revanche, entraînez-vous à rédiger proprement cette comparaison série-intégrale : c'est niveau licence donc vous devez être irréprochable.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 126 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 666 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 694 versions au total)