Théorème de Lévy et TCL

Garet Kurtzman pour le théorème de Lévy et Chabanol pour le TCL. Je fais un peu l'anguille à la fin de la preuve pour éviter de parler de log complexe.

Mon avis sur les recasages:
Loi d'une variable aléatoire, convergence d'une suite de variables aléatoires, et ça me semble très acceptable dans transformation de Fourier.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Formule d'inversion de Fourier dans L1

C'est la version que j'avais dans mon cours de licence, donc je ne suis pas en mesure de donner une référence. Attention quand même ici au fait que je le fais dans L1, beaucoup de preuves existent en passant par l'espace de Schwartz, mais elles ne sont pas exactement identiques (bien qu'intéressantes également).
Je passe par la méthode avec l'équation différentielle pour calculer la transformée de Fourier de la Gaussienne, ça me semble être la conjonction entre efficacité, simplicité et rapidité.

Mon avis sur les recasages:
Fonctions et espaces de fonction Lebesgue intégrables
Interversions en analyse
Exemples de calculs d'intégrales
Intégrales à paramètres
Transformation de Fourier

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier.

Pour les recasages à mon avis:
Approximation par des fonctions régulières
Variables aléatoires discrètes
Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails.
La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!)

Les recasages à mon avis:
Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral)
EDO linéaires
Application de la dimension finie en analyse
Eventuellement espaces vectoriels normés
Il est à mon avis hors sujet dans la leçon "illustrer par des exemples la théorie des edos"... C'est pas un exemple quoi...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Continuité des fonctions convexes

On montre la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}^n$, bien moins directe que la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}$. Je mets en référence le Gourdon dans lequel une preuve de ce théorème est donnée en exercice, mais comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin du document, ce n'est pas la référence que j'ai utilisée pour travailler ce développement. Je me suis servi du sujet d'écrit d'agreg 2011, donc je n'ai pas trouvé de référence valable pour cette version du développement, utilisable le jour J.
Le développement amène à parler de fonctions convexes dans le plan de la leçon, c'est pas mal de donner les caractérisations de la convexité pour les fonctions $C^1$ et $C^2$. C'est très bien fait dans un exo du Gourdon.

Les recasages à mon avis:
Dimension finie en analyse
Fonctions monotones et fonctions convexes
Utilisation de la convexité en analyse

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

Développement pas trop difficile mais sympa quand même.

Les recasages à mon avis:
Connexité
Thm d'inversion locale et des fonctions implicites
Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Divergence de la série des inverses des nombres premiers

On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement.

Côté recasages à mon avis:
Séries de nombres réels ou complexes
VA discrètes
Indépendance en proba
Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon "nombres premiers" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Échantillonage de Shannon

Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement.

Côté recasages à mon avis:
Espaces de fonctions
Espaces de Hilbert
Transformation de Fourier
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Zéros de la fonction de Bessel

Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales.
En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;)

Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier).

Côté recasages à mon avis:
EDO linéaires
Exemples d'illustration de la théorie des EDO
Séries entières
Fonctions usuelles et spéciales

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Van der Pol

Une EDO qui fait une étude qualitative intéressante. Le Berthelin contient toutes les informations, mais dans un ordre que je qualifierais d'exotique (cf remarques à la fin du document).

Côté recasages:
Exemple d'illustration de la théorie des EDO

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer.

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la compacité
Dimension finie en analyse
Espaces vectoriels normés

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Extrema liés

Fameux développement c'est vrai, malgré tout très difficile à cause des connaissances théoriques nécessaires. En effet, je pense que si l'on choisit ce développement, il faut pleinement assumer de parler de sous-variétés et ne pas faire l'autruche. Si l'on prépare ce développement suffisamment tôt, c'est malgré tout très gérable. Le fameux "théorème des sous-variétés" qui donne l'équivalence entre plusieurs définitions de sous variété est un théorème important. Mon avis est que mieux vous maitriserez ce théorème, plus vous vous sentirez à l'aise pour parler de sous-variétés.

Dans cette version du développement, j'ai fait le choix de démontrer une implication de ce théorème, qui est l'ingrédient miracle pour cette preuve. En plus, il justifie beaucoup mieux le recasage dans le leçon sur le théorème d'inversion locale puisque c'est à ce moment qu'il apparaît.
La preuve que je donne ici est le fruit d'un regroupement de plusieurs références, livres et pdf trouvés sur le net, c'est pourquoi je ne donne pas de référence ici. J'espère ne pas avoir fait d'erreurs, sinon, signalez le moi par mail.
Une fois qu'il est bien compris, c'est un développement de très haute qualité.

Côté recasage:
Fonctions différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.
Théorème d'inversion locale et des fonctions implicites.
Problèmes d'extrema.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Analyticité des fonctions holomorphes

Développement plutôt sympa, qui rentre bien dans le temps imparti même en prenant son temps. Je montre dans cette version que toute fonction holomorphe est analytique (à partir de la formule de Cauchy sur les convexes), j'en déduit les estimées de Cauchy et le théorème de Liouville qui affirme que toute fonction entière bornée est constante. Le Rudin fait les choses, mais tout n'est pas au même endroit dans le bouquin.

Côté recasages:
Espaces de fonctions
Suites et séries de fonctions
Séries entières
Fonctions holomorphes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Version du développement que j'ai adaptée (j'espère sans erreur) pour que les coefficients de Fourier utilisés soient les coefficients pour les fonctions $2\pi$-périodiques. Si vous relevez des erreurs, signalez-les moi par mail.

Côté recasages à mon avis:
Séries de Fourier
Exemples de méthodes de calcul d'intégrales
Eventuellement (moins convaincant) séries de nombres réels et complexes, puisque l'on ramène le calcul de l'intégrale au calcul d'une série de nombres
Eventuellement (moins convaincant) dans suites et séries de fonctions puisque l'on utilise les séries de Fourier.
Par contre, dans la leçon 209 sur les approximations de fonctions par des fonctions régulières, je ne vois vraiment pas le rapport.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Lemme de la grenouille

Développement vraiment mignon, je l'aime beaucoup. On peut bien prendre le temps d'expliquer le choses et de faire un joli dessin, qui est je pense indispensable pour cette preuve.

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la compacité
Connexité
Je ne le mettais ni dans "suites numériques" ni dans "suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$" car la partie où on s'intéresse à ces objets est dans l'application qui n'est pas longue et qui n'est pas vraiment le centre du développement.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité...

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la convexité en analyse
Fonctions monotones fonctions convexes
Etudes de fonctions usuelles et spéciales
Fonction définie par une intégrale à paramètre

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Méthode de Newton

Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc.
Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas.

Côté recasages à mon avis:
Suites numériques
Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
Formules de Taylor

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner.
Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive.

Côté recasages à mon avis:
Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre
Fonctions usuelles et spéciales
Problèmes d'interversion en analyse
Fonctions holomorphes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Réciproque de la formule de Taylor

Il est vrai que le développement paraît un peu technique aux premiers abords, mais quand on s'y plonge il n'est pas si compliqué. Je pense qu'il est pas mal pour faire un développement un peu exotique dans la leçon sur les formules de Taylor. Il ne faut pas aller trop vite pour ne pas perdre l'auditoire, les notations sont un peu lourdes. Cf remarques à la fin du document pour quelques précisions.
Je mets le Avez en référence, mais le Avez fait la version $\mathbb{R}^n$ du théorème, ce qui le rend vraiment imbuvable pour le commun des mortels... Ceci dit, les idées y sont exactement les mêmes.

Côté recasage à mon avis:
Formules de Taylor
Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement asymptotique de la série harmonique

Bon... Développement d'un intérêt faible à modéré à mon goût, mais il faut bien des développements pour la leçon sur les développements asymptotiques.

Côté recasages à mon avis:
Développements asymptotiques
Séries de nombres réels et complexes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement asymptotique de suites definies par récurrence

Cette version du développement sera peut-être courte, voire très courte pour certains. Je vois beaucoup de versions de ce développement faire beaucoup plus que moi.
Si je voulais correctement tout expliquer, ne rien passer sous silence et donner l'intuition de la démonstration, j'avais besoin des 15 minutes. Peut-être que c'est insuffisant, mais moi ça me plaisait bien :)
Le document de WOLFF est super intéressant, je le recommande vivement!!

Côté recasages à mon avis:
Développements asymptotiques
Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$
Suites numériques
Certains le mettent dans "série de nombres réels et complexes". Je ne trouve pas ça pertinent : on utilise un seul argument qui prend 1 minute à tout cassé dans le développement...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Cochran, Fischer et application test chi-deux

Développement très riche, mais long. Il faut bien le connaître pour qu'il rentre dans le temps, et ne pas traîner.
Comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin de ce document, je recommande vivement ce développement aux options A, mais je le déconseille vivement pour ceux qui n'ont jamais manipulé des vecteurs gaussiens. On a besoin de plein de notions hors programme.
On applique le théorème de Cochran, très théoriques, au test d'adéquation du $\khi^2$ discret, qui a des applications nombreuses en statistiques.

Côté recasages à mon avis:
Loi d'une variable aléatoire
Convergence d'une suites de variables aléatoires
Indépendance en probabilité
Pour la leçon "VA discrètes" ça se discute: certes le théorème de Cochran n'est pas du tout dans l'esprit de cette leçon, mais l'application, elle, y est en plein dedans. Je ne l'avais finalement pas mis dans cette leçon, car j'aurais bien eu du mal à l'intégrer dans ma leçon, sans faire une partie hors sujet sur les vecteurs gaussiens.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Fejér $L^p$ (approximation de l'identité)

Développement que j'ai beaucoup aimé, et qui rentre pile dans le temps quand on prend son temps.

La preuve du théorème de convergence $L^p$ des approximations de l'identité est quand même plus technique que son homologue qui montre la convergence uniforme sous les bonnes conditions. Elle fait revoir plein de choses en intégration (Hölder, continuité des translations, Fubini), et est très intéressante. Le théorème de Fejér en est une application directe. Je n'aime pas beaucoup les preuves "directes" du théorème de Fejér, parce qu'elles font tout sans dire qu'on utilise un théorème général sur les approximations de l'identité, et la bonne structure des noyaux de Fejér, qui ne tombe pas par hasard... Dans cette version, on insiste sur ce dernier point, c'est pourquoi j'ai choisi de prouver le théorème de Fejér de cette façon.

Côté recasages à mon avis:
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Suites et séries de fonctions
Approximation par des fonctions régulières
Je le mettais dans la leçon "Série des Fourier", mais il faut admettre que l'on parle finalement assez peu de séries de Fourier dans le développement, même si l'objectif final est le théorème de Fejér. Encore une fois, vous êtes seuls juges :)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

NB : L'accent est bien sur le second E dans "Fejér" :)

Action à gauche de GLm(K) sur Mnm(K)

Ne mâchons pas nos mots: un développement affreux, de loin le pire de ma liste. Mais il avait pile les recasages dont j'avais besoin à la fin de l'année. Le développement est quand même assez long du fait, à mon avis, des nombreuses choses qu'il faut expliquer au jury pour que l'exposé soit intelligible: type d'une matrice échelonnée par exemple. Rendre l'exposé compréhensible et complet en un quart d'heure est à mon avis un vrai défi de pédagogie, beaucoup plus qu'un défi mathématique. Mais bon, pour des (a priori) futurs profs, c'est aussi bien utile. Je souhaite tout mon courage à ceux qui le choisiront, parce que pour parler franchement, on rigole pas trop, le coeur du développement étant une récurrence assez fastidieuse. Pour ce qui est des références, le NH2G2 le fait très honnêtement. Côté recasages à mon avis:

162 : Systèmes linéaires.
101 : Action opérant sur un ensemble.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Etude de l'anneau Z[i]

La première partie du développement est très classique et constitue la preuve du théorème des deux carrés dans le cas premier. Pour cette preuve, chacun fait ses choix de ce qu'il démontre ou pas; j'ai fait mes choix, je ne prétends pas que ce soit les meilleurs. De toute façon, pour présenter ce développement, il faut tout savoir démontrer... Ceci dit, je trouve que dans beaucoup de développements, l'isomorphisme entre les deux anneaux quotients n'est jamais démontré. Certes c'est pénible à faire, mais c'est quand même pas évident, j'ai préféré ne pas passer sous silence ce point.
Dans la seconde partie, on caractérise les irréductibles de Z[i]. C'est un peu moins traditionnel, mais c'est plutôt sympa, et renforce à mon goût le recasage dans la leçon sur les anneaux principaux: une partie dans la leçon sur cet anneau est très naturelle, le théorème des deux carrés devient un lemme qui sert à l'étude de l'anneau.
Développement pas spécialement court, maîtrisez le bien! Côté recasage à mon avis:
Anneaux principaux
Nombres premiers
Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables

Pour les références, Perrin pour le théorème des deux carrés et Ramis-Warusfel Tout en un pour la licence 3 pour les irréductibles de Z[i]. Perrin présente aussi une preuve de ce second point, mais je préfère la version du Ramis Warusfel.
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Par cinq points passe une conique

Développement qui paraît assez aride à première vue, mais une fois qu'on s'y plonge dedans, les choses deviennent assez fluides. Il a l'avantage de se recaser dans les deux leçons de géométrie, et d'alimenter la partie "côniques" de la leçon sur les formes quadratiques. Il y a quand même des choses à savoir, et certaines ne sont pas spécialement triviales. Notamment, la forme générale d'une conique en coordonnées barycentriques: le Eiden le fait très bien, mais il faut s'y pencher dessus, c'est pas le jour J qu'il faut se renseigner sur ce point. Côté recasage à mon avis:

Convexité dans R^n
Formes quadratiques réelles, Côniques
Exemple d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Construction des corps finis

Alors là, il y a des choses à dire...
Malgré son caractère très classique, ce développement est sans doute l'un des plus dangereux que j'ai choisi. La masse de connaissance à avoir est énorme, beaucoup de choses doivent être sues, ce qui en fait un développement un peu à double tranchant: d'un côté c'est très bien parce qu'il fait réviser beaucoup de choses, mais d'un autre, il demande énormément de temps de préparation ce qui en fait un développement très peu rentable. La seconde page de mon document est entièrement dédiée à des connaissances dont on a besoin pour la démonstration. Chaque point est assez court, mais la somme est conséquente.
En revanche, dans la leçon sur les corps finis, la maîtrise d'une construction des corps finis est explicitement demandée... On en présente une ici. Si vous faites le choix de prendre ce développement, préparez-le assez tôt dans l'année, de façon à pourvoir le reprendre plusieurs fois et bien le connaître. D'autant plus que le Gozard est franchement minimaliste sur ses explications. Pour couronner le tout, le développement est plutôt long, et on a vite fait de se perdre. Très heureux de ne pas être tombé sur cette horreur le jour J: avec le stress, je pense que ça a vite fait de tourner au vinaigre. Bref à conseiller à ceux et celles qui sont (très) à l'aise sur la théorie des corps, et bon courage!

Côté recasages à mon avis:
Corps finis
Extensions de corps
Polynômes irréductibles à une indéterminée

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Corps des nombres algébriques

Développement très classique, mais j'ai décidé de la faire de façon un peu moins conventionnelle. Je l'ai séparé en trois parties: preuve que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps, puis montrer que ce corps est algébriquement clos si le corps de départ l'est, et enfin construction d'un polynôme annulateur pour la somme de deux nombres algébriques. Cette troisième partie nécessite la notion de résultant, très intéressante, très riche, mais hors programme. Si vous ne voulez pas vous y frotter, ne prenez pas cette version du développement.
L'idée est de montrer que la preuve par les extensions de corps est très efficace, mais non constructive, et de présenter un outil pour faire une preuve constructive. En effet, une fois que l'on a la stabilité par la somme, la stabilité par produit se fait de façon semblable. La stabilité par l'inverse se fait rapidement, sans avoir besoin de théories exotiques. Le Rombaldi explique bien la partie sur le résultant, dans son chapitre "Résultant". Attention cependant: il le fait dans le cas des entiers algébriques, qui nécessitent d'avoir un polynôme annulateur unitaire. Ici, ce n'est pas le cas, donc la preuve est encore plus simple! Il faut quand même s'y pencher un peu pour voir ce qui peut être enlevé.

Côté recasages à mon avis:
Extensions de corps
Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables
Racines d'un polynôme
Déterminant (dans cette leçon, il faudra donc prévoir une partie sur le résultant. Dans le développement, je ne montrais pas la partie sur les corps algébriquement clos, mais faisais aussi l'explication pour trouver un polynôme annulateur du produit de deux nombres algébriques)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Critère de Sylvester et applications

Développement sympathique, pas spécialement difficile, mais assez attention au temps. Les récurrences rendent le développement assez long. Le lemme de départ peut être une bonne source d'économie de temps, mais sans le montrer, le développement est un peu court... Il faut voir comment vous vous y prenez pour faire votre choix. Maîtriser la loi d'inertie de Sylvester est bien évidemment un impératif pour présenter ce développement.

Côté recasage à mon avis:
Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
Déterminant (certains considèrent ce recasage abusif. Je ne comprends pas: le critère de Sylvester porte précisément sur les mineurs de la matrice qui sont des déterminants. En plus dans l'application, on est amené à développer un déterminant...)
Formes quadratiques réelles
Matrices symétriques

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

(Z/p^aZ)* est cyclique

Un très joli développement, je l'ai beaucoup apprécié! Il n'est pas spécialement compliqué, les petites étapes s'enchaînent plutôt bien, et on peut prendre son temps pour bien expliquer l'idée de la démonstration qui est somme toute assez simple. Le Perrin le fait plutôt bien, mais montre le cas k=1 dans la récurrence, que l'on n'utilise pas dans la récurrence, ce qui semble peu optimal.
On utilise un peu la fonction indicatrice d'Euler, préparez vous sur des questions dessus je pense.
Ce développement fait écho à un autre, qui donne tous les groupes de type (Z/nZ)* qui sont cycliques. Bien qu'intéressant, ce développement était trop long pour moi, c'est pourquoi j'ai préféré ne montrer que le fait que les (Z/p^aZ)* sont cycliques. En fait les autres s'en déduisent, mais ça peut être intéressant de s'y pencher dessus pour enrichir l'étude, d'autant plus que l'on a fait le plus dur en présentant ce développement. On peut imaginer même mettre la caractérisation des (Z/nZ)* cycliques en corollaire de ce développement dans le plan de la leçon (bon, appeler ça "corollaire", c'est peut-être un peu gonflé, mais vous comprenez l'idée^^)

Côté recasage à mon avis:
Exemple de parties génératrices d'un groupe
Anneaux Z/nZ
Nombres premiers

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Décomposition polaire

Un développement classico classique, mais qui marche très bien: il est plutôt riche, passe bien dans les temps, et parle de topologie, ce qui est toujours mignon quand on est dans des espaces de matrices.
Bien sûr, il faut mettre un accent important sur les applications qui sont très nombreuses. Pour les références, le H2G2 tome 1 le fait tout à fait honnêtement, et de mémoire, il y a aussi des applications classiques du résultat.
Les recasages à mon avis:
- Groupe linéaire d'un ev de dimension finie.
- Endomorphismes diagonalisables
- Matrices symétriques et hermitiennes
- Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
- Exemples de décompositions de matrices

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Endomorphismes semi-simples

Très joli développement, je recommande ! Je ne prends le Gourdon que pour l'implication directe et le cas général de l'implication réciproque. Par contre, pour le cas du polynôme minimal irréductible, je ne prends pas le Gourdon, parce que franchement sa méthode est horrible à écrire et sûrement à écouter... Je prends une méthode qui m'a été présentée par un de mes profs, mais du coup pas de référence, mais tant pis : cette méthode écourte grandement le développement, et fait qu'il peut être traité sans problème en 15 minutes. Apparemment, on peut montrer que A une matrice réelle est semi simple ssi sa classe de similitude est fermée dans Mn(R). Ce résultat fait écho à un résultat de topologie des classes de similitude, mais bien que fort intéressant je n'ai jamais trouvé la preuve de ce résultat, ni par moi-même ni dans des bouquins. Mais ça paraît être une jolie application, ça vaut le coup de chercher je pense :)
Côté recasages à mon avis:

- Polynômes d'endomorphismes
- Sous espaces stables pas un/une famille d'endomorphismes
- Pas déconnant dans anneaux principaux, étant donnée la place centrale de l'identité de Bézout.

Je l'avais mis au départ dans Polynômes irréductibles à un indéterminée, vu que le cas où le polynôme minimal est irréductible constitue un pivot dans la preuve. Ceci dit, je l'ai enlevé parce qu'en lisant le rapport du jury pour cette leçon, j'ai vu qu'ils attendent une leçon très teintée sur les corps, et du coup ce développement paraît un peu à côté de la plaque...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Enveloppe convexe de On(R)

Joli résultat, mais développement somme toute assez risqué. Il faut maîtriser le théorème de projection sur les convexes fermés dans un Hilbert (bon en même temps, il faut le maîtriser de toute façon), la décomposition polaire, et plus précisément sa version non inversible, le dual de Mn(R) (pas trop difficile) et le fameux théorème de Carathéodory. En dimension finie, il est honnêtement démontré dans un des Gourdon (je ne sais plus si c'est en algèbre ou en analyse). Il passe relativement bien dans le temps imparti, mais il faut quand même bien le connaître, et ne pas trop traîner. Un schéma pour la propriété de séparation dans les Hilbert ne fait pas de mal. Le Queffelec traite le lemme, et le BMP le reste. Ceci dit, je n'étais pas convaincu de la qualité de ces références, il faut mieux bien connaître les preuves. Côté recasages à mon avis:

- Espaces vectoriels affines et euclidiens : distances, isométries
- Convexité dans Rn (de part l'utilisation importante des barycentres dans le lemme, et le fait qu'on parle quand même d'enveloppe convexe...)
- Dualité et formes linéaires en dimension finie. Si on le recase dans cette leçon, il faut quand même prouver, je pense, que le dual de Mn(R) est ce qu'il est, quitte à enlever quelque chose d'autre.
- Endomorphismes remarquables dans un ev de dimension finie

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice

Un développement vraiment pas difficile, mais qui est respectable dans la leçon sur l'exponentielle de matrices. Il peut être un peu court en l'état pour certains, mais il est facile de rajouter des petites choses en cas de besoin. Le Rombaldi fait le développement de façon tout à fait respectable ! J'ai rédigé le développement en version endomorphismes, mais je suppose qu'il n'y a pas de problème à le rédiger version matrices.

Côté recasages à mon avis:
Exponentielles de matrices
Endomorphismes diagonalisables

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Classification des formes quadratiques sur Fq

Un très joli développement, qui mêle plein de sujets différents : formes quadratiques, corps finis et dénombrement. Il n'est pas spécialement difficile, et fait revoir le dénombrement des carrés de Fq. Le développement passe très bien dans le temps imparti, en expliquant bien les choses. La récurrence n'est pas trop pénible. Je pense qu'il est préférable de passer du temps sur l'initialisation dans le cas n = 2, et l'hérédite ne sera alors qu'une généralisation pratiquement directe. Je recommande ce développement ! Côté recasages à mon avis:

Corps finis
Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
Problèmes de dénombrement (nombre de carrés dans Fq + principe des tiroirs pour la preuve du lemme)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Un développement sympathique, qui ressemble beaucoup, dans l'idée, au développement sur la décomposition polaire. D'ailleurs, celle-ci peut s'en déduire. La référence que je donne le fait de façon acceptable. En terme de temps, le développement est quand même assez long, et on ne peut pas vraiment se permettre de tergiverser en explications. Je ne prouvais pas le calcul de la norme subordonnée à la norme 2 (qui vaut le rayon spectral de la matrice) Ceci dit, beaucoup de résultats sont à savoir, notamment la continuité de l'exponentielle complexe et ce calcul de la norme d'opérateur associé à la norme 2. Je déconseille de mettre ce développement en face du développement sur la décomposition polaire, c'est trop redondant. Je donne tout de même la liste de toutes les leçons dans lesquelles il se recase à mon avis.

Exponentielle de matrices
Endomorphismes diagonalisables
Matrices symétriques réelles et hermitiennes
Endomorphismes remarquables d'un ev euclidien

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Un développement sympathique. Ma version est vraiment très courte à l'écrit, mais en donnant quelques compléments à l'oral, ça remplissait bien le temps imparti. Le début est exactement le même que la preuve du lemme dans le dev Topologie des classes de similitude. Le lemme constitue un résultat pour le moins inhabituel sur le rayon spectral et les normes d'opérateur. Tellement inhabituel que je trouve qu'il est vraiment intéressant de présenter ce développement dans la leçon sur les valeurs propres. On peut aller bien plus loin, en présentant des exemples de méthodes itératives calquées sur ce schéma, comme Gauss-Seidel ou Jacobi. Mais pour moi, pauvre option A, c'était prendre trop de risques : je préférais garder ces noms savants sous la pédale en cas de question gênante... Plus trop sûr de la référence. Côté recasage à mon avis:

Valeurs propres et vecteurs propres
Systèmes linéaires

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

PGCD et matrice de Sylvester.

Un développement fort exotique, fort passionnant, mais qui ouvre les portes d'un monde hostile et plein de chausse-trappes. La matrice de Sylvester, et son déterminant qui est appelé résultant ne sont pas des notions au programme, ce qui fait que c'est un risque d'en parler. Tout de même, on peut en dire plein de choses intéressantes, sans entrer dans trop d'horreurs. Après bien sûr, comme tout, ça peut rapidement se corser. J'avais pas mal travaillé autour de cette notion, au programme de l'option C qui n'était pas la mienne, et j'avais plaisir à faire un développement autour de ça. On explique comment la matrice de Sylvester est liée à l'arithmétique des polynômes. Plus précisément, on explique comment, en échelonnant cette matrice mystique, on obtient les coefficients d'un PGCD des deux polynômes que l'on a pris au départ. Pour les courageux qui prendront ce développement, faites attention surtout à deux choses : la définition que vous prenez pour la matrice de Sylvester (il y en a deux : une matrice et sa transposée) et d'avoir bien compris pourquoi la détermination de l'image de la fonction phi mérite démonstration. Je l'explique en deux mots à la fin du document. Il passe bien en terme de temps, mais il ne faut quand même pas traîner. Pas de référence pour ce développement maison, merci beaucoup à Baptiste pour son aide :) Pour les recasages, c'est pas extraordinaire : c'est plus un dev "passion" qu'un dev "rentable".

PGCD et PPCM
Dimension d'un espace vectoriel

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.