Théorème de Lévy et TCL

Garet Kurtzman pour le théorème de Lévy et Chabanol pour le TCL. Je fais un peu l'anguille à la fin de la preuve pour éviter de parler de log complexe.

Mon avis sur les recasages:
Loi d'une variable aléatoire, convergence d'une suite de variables aléatoires, et ça me semble très acceptable dans transformation de Fourier.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Formule d'inversion de Fourier dans L1

C'est la version que j'avais dans mon cours de licence, donc je ne suis pas en mesure de donner une référence. Attention quand même ici au fait que je le fais dans L1, beaucoup de preuves existent en passant par l'espace de Schwartz, mais elles ne sont pas exactement identiques (bien qu'intéressantes également).
Je passe par la méthode avec l'équation différentielle pour calculer la transformée de Fourier de la Gaussienne, ça me semble être la conjonction entre efficacité, simplicité et rapidité.

Mon avis sur les recasages:
Fonctions et espaces de fonction Lebesgue intégrables
Interversions en analyse
Exemples de calculs d'intégrales
Intégrales à paramètres
Transformation de Fourier

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier.

Pour les recasages à mon avis:
Approximation par des fonctions régulières
Variables aléatoires discrètes
Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails.
La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!)

Les recasages à mon avis:
Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral)
EDO linéaires
Application de la dimension finie en analyse
Eventuellement espaces vectoriels normés
Il est à mon avis hors sujet dans la leçon "illustrer par des exemples la théorie des edos"... C'est pas un exemple quoi...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Continuité des fonctions convexes

On montre la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}^n$, bien moins directe que la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}$. Je mets en référence le Gourdon dans lequel une preuve de ce théorème est donnée en exercice, mais comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin du document, ce n'est pas la référence que j'ai utilisée pour travailler ce développement. Je me suis servi du sujet d'écrit d'agreg 2011, donc je n'ai pas trouvé de référence valable pour cette version du développement, utilisable le jour J.
Le développement amène à parler de fonctions convexes dans le plan de la leçon, c'est pas mal de donner les caractérisations de la convexité pour les fonctions $C^1$ et $C^2$. C'est très bien fait dans un exo du Gourdon.

Les recasages à mon avis:
Dimension finie en analyse
Fonctions monotones et fonctions convexes
Utilisation de la convexité en analyse

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

Développement pas trop difficile mais sympa quand même.

Les recasages à mon avis:
Connexité
Thm d'inversion locale et des fonctions implicites
Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Divergence de la série des inverses des nombres premiers

On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement.

Côté recasages à mon avis:
Séries de nombres réels ou complexes
VA discrètes
Indépendance en proba
Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon "nombres premiers" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Échantillonage de Shannon

Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement.

Côté recasages à mon avis:
Espaces de fonctions
Espaces de Hilbert
Transformation de Fourier
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Zéros de la fonction de Bessel

Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales.
En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;)

Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier).

Côté recasages à mon avis:
EDO linéaires
Exemples d'illustration de la théorie des EDO
Séries entières
Fonctions usuelles et spéciales

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Van der Pol

Une EDO qui fait une étude qualitative intéressante. Le Berthelin contient toutes les informations, mais dans un ordre que je qualifierais d'exotique (cf remarques à la fin du document).

Côté recasages:
Exemple d'illustration de la théorie des EDO

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer.

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la compacité
Dimension finie en analyse
Espaces vectoriels normés

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Extrema liés

Fameux développement c'est vrai, malgré tout très difficile à cause des connaissances théoriques nécessaires. En effet, je pense que si l'on choisit ce développement, il faut pleinement assumer de parler de sous-variétés et ne pas faire l'autruche. Si l'on prépare ce développement suffisamment tôt, c'est malgré tout très gérable. Le fameux "théorème des sous-variétés" qui donne l'équivalence entre plusieurs définitions de sous variété est un théorème important. Mon avis est que mieux vous maitriserez ce théorème, plus vous vous sentirez à l'aise pour parler de sous-variétés.

Dans cette version du développement, j'ai fait le choix de démontrer une implication de ce théorème, qui est l'ingrédient miracle pour cette preuve. En plus, il justifie beaucoup mieux le recasage dans le leçon sur le théorème d'inversion locale puisque c'est à ce moment qu'il apparaît.
La preuve que je donne ici est le fruit d'un regroupement de plusieurs références, livres et pdf trouvés sur le net, c'est pourquoi je ne donne pas de référence ici. J'espère ne pas avoir fait d'erreurs, sinon, signalez le moi par mail.
Une fois qu'il est bien compris, c'est un développement de très haute qualité.

Côté recasage:
Fonctions différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.
Théorème d'inversion locale et des fonctions implicites.
Problèmes d'extrema.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Analyticité des fonctions holomorphes

Développement plutôt sympa, qui rentre bien dans le temps imparti même en prenant son temps. Je montre dans cette version que toute fonction holomorphe est analytique (à partir de la formule de Cauchy sur les convexes), j'en déduit les estimées de Cauchy et le théorème de Liouville qui affirme que toute fonction entière bornée est constante. Le Rudin fait les choses, mais tout n'est pas au même endroit dans le bouquin.

Côté recasages:
Espaces de fonctions
Suites et séries de fonctions
Séries entières
Fonctions holomorphes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Version du développement que j'ai adaptée (j'espère sans erreur) pour que les coefficients de Fourier utilisés soient les coefficients pour les fonctions $2\pi$-périodiques. Si vous relevez des erreurs, signalez-les moi par mail.

Côté recasages à mon avis:
Séries de Fourier
Exemples de méthodes de calcul d'intégrales
Eventuellement (moins convaincant) séries de nombres réels et complexes, puisque l'on ramène le calcul de l'intégrale au calcul d'une série de nombres
Eventuellement (moins convaincant) dans suites et séries de fonctions puisque l'on utilise les séries de Fourier.
Par contre, dans la leçon 209 sur les approximations de fonctions par des fonctions régulières, je ne vois vraiment pas le rapport.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Lemme de la grenouille

Développement vraiment mignon, je l'aime beaucoup. On peut bien prendre le temps d'expliquer le choses et de faire un joli dessin, qui est je pense indispensable pour cette preuve.

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la compacité
Connexité
Je ne le mettais ni dans "suites numériques" ni dans "suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$" car la partie où on s'intéresse à ces objets est dans l'application qui n'est pas longue et qui n'est pas vraiment le centre du développement.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité...

Côté recasages à mon avis:
Utilisation de la convexité en analyse
Fonctions monotones fonctions convexes
Etudes de fonctions usuelles et spéciales
Fonction définie par une intégrale à paramètre

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Méthode de Newton

Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc.
Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas.

Côté recasages à mon avis:
Suites numériques
Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
Formules de Taylor

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner.
Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive.

Côté recasages à mon avis:
Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre
Fonctions usuelles et spéciales
Problèmes d'interversion en analyse
Fonctions holomorphes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Réciproque de la formule de Taylor

Il est vrai que le développement paraît un peu technique aux premiers abords, mais quand on s'y plonge il n'est pas si compliqué. Je pense qu'il est pas mal pour faire un développement un peu exotique dans la leçon sur les formules de Taylor. Il ne faut pas aller trop vite pour ne pas perdre l'auditoire, les notations sont un peu lourdes. Cf remarques à la fin du document pour quelques précisions.
Je mets le Avez en référence, mais le Avez fait la version $\mathbb{R}^n$ du théorème, ce qui le rend vraiment imbuvable pour le commun des mortels... Ceci dit, les idées y sont exactement les mêmes.

Côté recasage à mon avis:
Formules de Taylor
Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement asymptotique de la série harmonique

Bon... Développement d'un intérêt faible à modéré à mon goût, mais il faut bien des développements pour la leçon sur les développements asymptotiques.

Côté recasages à mon avis:
Développements asymptotiques
Séries de nombres réels et complexes

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement asymptotique de suites definies par récurrence

Cette version du développement sera peut-être courte, voire très courte pour certains. Je vois beaucoup de versions de ce développement faire beaucoup plus que moi.
Si je voulais correctement tout expliquer, ne rien passer sous silence et donner l'intuition de la démonstration, j'avais besoin des 15 minutes. Peut-être que c'est insuffisant, mais moi ça me plaisait bien :)
Le document de WOLFF est super intéressant, je le recommande vivement!!

Côté recasages à mon avis:
Développements asymptotiques
Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$
Suites numériques
Certains le mettent dans "série de nombres réels et complexes". Je ne trouve pas ça pertinent : on utilise un seul argument qui prend 1 minute à tout cassé dans le développement...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Cochran, Fischer et application test chi-deux

Développement très riche, mais long. Il faut bien le connaître pour qu'il rentre dans le temps, et ne pas traîner.
Comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin de ce document, je recommande vivement ce développement aux options A, mais je le déconseille vivement pour ceux qui n'ont jamais manipulé des vecteurs gaussiens. On a besoin de plein de notions hors programme.
On applique le théorème de Cochran, très théoriques, au test d'adéquation du $\khi^2$ discret, qui a des applications nombreuses en statistiques.

Côté recasages à mon avis:
Loi d'une variable aléatoire
Convergence d'une suites de variables aléatoires
Indépendance en probabilité
Pour la leçon "VA discrètes" ça se discute: certes le théorème de Cochran n'est pas du tout dans l'esprit de cette leçon, mais l'application, elle, y est en plein dedans. Je ne l'avais finalement pas mis dans cette leçon, car j'aurais bien eu du mal à l'intégrer dans ma leçon, sans faire une partie hors sujet sur les vecteurs gaussiens.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Fejér $L^p$ (approximation de l'identité)

Développement que j'ai beaucoup aimé, et qui rentre pile dans le temps quand on prend son temps.

La preuve du théorème de convergence $L^p$ des approximations de l'identité est quand même plus technique que son homologue qui montre la convergence uniforme sous les bonnes conditions. Elle fait revoir plein de choses en intégration (Hölder, continuité des translations, Fubini), et est très intéressante. Le théorème de Fejér en est une application directe. Je n'aime pas beaucoup les preuves "directes" du théorème de Fejér, parce qu'elles font tout sans dire qu'on utilise un théorème général sur les approximations de l'identité, et la bonne structure des noyaux de Fejér, qui ne tombe pas par hasard... Dans cette version, on insiste sur ce dernier point, c'est pourquoi j'ai choisi de prouver le théorème de Fejér de cette façon.

Côté recasages à mon avis:
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Suites et séries de fonctions
Approximation par des fonctions régulières
Je le mettais dans la leçon "Série des Fourier", mais il faut admettre que l'on parle finalement assez peu de séries de Fourier dans le développement, même si l'objectif final est le théorème de Fejér. Encore une fois, vous êtes seuls juges :)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

NB : L'accent est bien sur le second E dans "Fejér" :)