Développement : PGCD et matrice de Sylvester.

Détails/Enoncé :

Soient A et B deux polynômes de degré respectif $m$ et $n$. On montre pourquoi on obtient les coefficients d'un PGCD de A et de B en échelonnant la matrice de Sylvester convenablement. Cette constatation est le corollaire du fait suivant. Considérons

$$
\varphi : (U,V) \in \mathbb{R}_{n-1}[X] \times \mathbb{R}_{m-1}[X] \mapsto AU + BV \in \mathbb{R}_{n+m-1}[X]
$$
Alors, en notant $D$ un PGCD de A et de B, on a que $Im(\varphi)= (D) \cap \mathbb{R}_{n+m-1}[X]$.

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    Un développement fort exotique, fort passionnant, mais qui ouvre les portes d'un monde hostile et plein de chausse-trappes. La matrice de Sylvester, et son déterminant qui est appelé résultant ne sont pas des notions au programme, ce qui fait que c'est un risque d'en parler. Tout de même, on peut en dire plein de choses intéressantes, sans entrer dans trop d'horreurs. Après bien sûr, comme tout, ça peut rapidement se corser. J'avais pas mal travaillé autour de cette notion, au programme de l'option C qui n'était pas la mienne, et j'avais plaisir à faire un développement autour de ça. On explique comment la matrice de Sylvester est liée à l'arithmétique des polynômes. Plus précisément, on explique comment, en échelonnant cette matrice mystique, on obtient les coefficients d'un PGCD des deux polynômes que l'on a pris au départ. Pour les courageux qui prendront ce développement, faites attention surtout à deux choses : la définition que vous prenez pour la matrice de Sylvester (il y en a deux : une matrice et sa transposée) et d'avoir bien compris pourquoi la détermination de l'image de la fonction phi mérite démonstration. Je l'explique en deux mots à la fin du document. Il passe bien en terme de temps, mais il ne faut quand même pas traîner. Pas de référence pour ce développement maison, merci beaucoup à Baptiste pour son aide :) Pour les recasages, c'est pas extraordinaire : c'est plus un dev "passion" qu'un dev "rentable".

    PGCD et PPCM
    Dimension d'un espace vectoriel

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :