Développement : Réciproque de la formule de Taylor

Détails/Enoncé :

Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle ouvert et $f: I \to \mathbb{R}$. On suppose qu'il existe des applications continues $a_k : I \to \mathbb{R}$ pour $k=0,...,n$, telles que en posant pour tout $x,x+h \in I$,
\[
R_n(x,h)=f(x,h)-\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)\frac{h^k}{k!}
\]
on ait pour tout $a \in I$,
\[
\lim_{(x,h)\to(a,0)} \frac{R_n(x,h)}{||h||^n} = 0.
\]
Alors, $f\in C^n(I)$ et $a_k = f^{(k)}$ pour tout k=0,...,n.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Il est vrai que le développement paraît un peu technique aux premiers abords, mais quand on s'y plonge il n'est pas si compliqué. Je pense qu'il est pas mal pour faire un développement un peu exotique dans la leçon sur les formules de Taylor. Il ne faut pas aller trop vite pour ne pas perdre l'auditoire, les notations sont un peu lourdes. Cf remarques à la fin du document pour quelques précisions.
    Je mets le Avez en référence, mais le Avez fait la version $\mathbb{R}^n$ du théorème, ce qui le rend vraiment imbuvable pour le commun des mortels... Ceci dit, les idées y sont exactement les mêmes.

    Côté recasage à mon avis:
    Formules de Taylor
    Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 21 versions au total)