(2017 : 218 - Applications des formules de Taylor.)
Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques et surtout être capable de faire la différence entre les formules et de maîtriser leurs champs d’application. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives.
Pour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l’analyse de méthodes d’intégration numérique ou l’étude de consistance de l’approximation de $\frac{d^2}{dx^2}$ par différences finies. On soignera particulièrement le choix des développements.
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Q: Développement limité à l'ordre 2 implique-t-il dérivée seconde ? [non. Par exemple f(x)=sin(1/x)x^3]
Q: Avez-vous une idée de la preuve "f et f^(n+1) bornée implique f^(k) bornée pour k entre 1 et n"? [utiliser Taylor-Lagrange et isoler les termes f et f^(n+1). Le polynôme des autres termes sera uniformément borné, puis utiliser l'équivalence des normes en dimension finie pour borner les coefficients]
Q: Montrer que f(x)=(1-cos(x))/x^2 est C^{infinie}. [Elle est développable en série entière]
Q: Historiquement, quel(s) problème(s) ont motivé l'introduction de ces notions et quand ? [Sérieusement ?]
Jury plutôt coopératif.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.