Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Chabanol, Ruch

Utilisée dans les 6 développements suivants :

Existence de l'espérance conditionelle
Formule de Stirling (par le théorème central limite)
Théorème de Lévy et TCL
Convergence en loi de variables aléatoires discrètes
Cochran, Fischer et application test chi-deux
Théorème de Lévy et théorème central limite

Utilisée dans les 18 leçons suivantes :

157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
261 (2025) Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
262 (2025) Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 (2025) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
266 (2025) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse

Utilisée dans les 6 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement très riche, mais long. Il faut bien le connaître pour qu'il rentre dans le temps, et ne pas traîner.
    Comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin de ce document, je recommande vivement ce développement aux options A, mais je le déconseille vivement pour ceux qui n'ont jamais manipulé des vecteurs gaussiens. On a besoin de plein de notions hors programme.
    On applique le théorème de Cochran, très théoriques, au test d'adéquation du $\khi^2$ discret, qui a des applications nombreuses en statistiques.

    Côté recasages à mon avis:
    Loi d'une variable aléatoire
    Convergence d'une suites de variables aléatoires
    Indépendance en probabilité
    Pour la leçon "VA discrètes" ça se discute: certes le théorème de Cochran n'est pas du tout dans l'esprit de cette leçon, mais l'application, elle, y est en plein dedans. Je ne l'avais finalement pas mis dans cette leçon, car j'aurais bien eu du mal à l'intégrer dans ma leçon, sans faire une partie hors sujet sur les vecteurs gaussiens.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 41 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
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  • Remarque :
    J'ai abordé cette leçon sous l'angle de : "y a-t-il une symétrie ou non ?"
    Le premier paragraphe traite la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$ donc la réponse est non, on a seulement la formule d'inversion. Dans le deuxième paragraphe, on s'intéresse à la transformée de Fourier-Plancherel et à la restriction sur la classe de Schwartz où l'opérateur Fourier réalise une bijection (et même un isomorphisme isométrique)
    Les théories $L^2$ et $\mathcal{S}$ m'ont demandé pas mal de travail, étant donné qu'on les avait traitées assez succintement en M1. Je conseillerais de faire quelques exercices sur le sujet, et si on n'est pas très à l'aise avec la classe de Schwartz comme moi, ne pas aller vers la topologie d'espace de Fréchet... La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique... Sauf si on en a envie et qu'on maîtrise bien le sujet bien sûr.
    J'ai voulu faire les polynômes orthogonaux en DEV2 mais le rapport du jury m'a un peu refroidi, apparemment il "saoule" le jury pour cette leçon... Lévy-TCL ça rentre bien, on utilise à un moment donné une transformée de Fourier, et la bijectivité de Fourier sur la classe de Schwartz. Pour ce dernier développement, on est un peu obligé d'utiliser le Zuily-Queffelec, mais il faut remanier un peu les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose... (voir ma version du DEV si vous voulez)
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  • Remarque :
    Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
    La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
    Ici, il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance), de formule du transfert... Savoir utiliser les différentes formules, les inégalités, ne pas oublier les fonctions génératrices.
    Cette leçon me faisait très peur, car étant une leçon de probas "type Sup-Spé", le jury peut poser des exos sur des urnes et des boules et je ne sais quoi avec lesquels je ne suis pas du tout à l'aise... Heureusement que je ne l'ai pas eue dans mon tirage !
    Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV avaient un peu remanié la preuve : voir ma version du DEV
    Le DEV2 Galton-Watson se trouve dans le Delmas, Modèles aléatoires que je ne trouve pas sur le site.
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  • Remarque :
    Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
    La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
    Ici, il faut centrer sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les APPLICATIONS de l'indépendance, il faut donc en mettre le plus possible.
    Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.
    Le DEV2 se trouve dans le Zuily-Queffelec mais il faut un peu remanier les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose...
    Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV ont un peu remanié la preuve, voir ma version du DEV si vous voulez.
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