Leçon 266 : Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

(2024) 266

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 266 - Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.) L'indépendance est centrale en probabilités et démarque cette théorie de celle de l'intégration. À partir de la notion élémentaire de probabilité conditionnelle, on pourra introduire l'indépendance de deux événements, l'indépendance mutuelle d'une suite d'événements, voire celle d'une suite de tribus, puis l'indépendance de familles de variables aléatoires. Le programme fournit plusieurs utilisations élémentaires de l'indépendance : lien avec l'espérance, la variance et la covariance, loi faible des grands nombres, lemmes de Borel-Cantelli, stabilité de certaines lois (normale, Cauchy). Pour aller plus loin, on pourra aborder la loi forte des grands nombres ou le théorème central limite, ou l'étude de la marche aléatoire symétrique sur Z. Les candidats aguerris pourront aborder la loi du 0-1 de Kolmogorov, la convergence des séries de variables aléatoires indépendantes, la loi du logarithme itéré, les vecteurs gaussiens.

(2020 : 266 - Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.) L’indépendance est centrale en probabilités et démarque cette théorie de celle de l’intégration. La motivation de cette leçon est de présenter cette notion de façon cohérente et de l’illustrer par des énoncés fondamentaux et des modèles importants. $\\$ À partir de la notion élémentaire de probabilité conditionnelle, on pourra introduire l’indépendance de deux événements, l’indépendance mutuelle d’une suite d’événements, voire celle d’une suite de tribus, puis l’indépendance de familles de variables aléatoires. Ces notions doivent être illustrées par des exemples et des énoncés simples (indépendance deux à deux et indépendance mutuelle,indépendance et opérations ensemblistes, etc). Il est important de pouvoir présenter un espace de probabilité sur lequel sont définies $n$ variables aléatoires indépendantes, au moins à un niveau élémentaire pour des variables discrètes ou à densité. De façon plus sophistiquée, on peut envisager de donner une construction d’un espace de probabilité sur lequel est définie une suite de variables aléatoires réelles indépendantes ayant des lois prescrites. $\\$ Au delà des définitions, il est nécessaire de décliner quelques propriétés simples de l’indépendance,notamment celles en lien avec l’espérance et, plus spécifiquement, les notions de variance et de covariance, ce qui peut s’illustrer par exemple par l’obtention de lois faibles des grands nombres. $\\$ Une autre illustration possible consiste en la représentation des variables usuelles (binomiales, géométriques, hypergéométriques,...) à l’aide d’expériences indépendantes élémentaires. Grâce aux divers critères utilisant les fonctions ou transformées caractérisant les lois (densité, fonction génératrice, fonction de répartition à $n$ variables, fonction caractéristique, etc) il est possible de présenter les propriétés d’indépendance remarquables dont jouissent les lois usuelles (lois de Poisson, lois normales, lois exponentielles, lois de Cauchy ou, pour aller plus loin, par exemple,la traduction de l’indépendance des vecteurs gaussiens en termes d’algèbre bilinéaire). $\\$ Les réciproques du lemme de Borel-Cantelli et la loi du 0-1 de Kolmogorov, plus sophistiquée, tiennent une place de choix dans cette leçon ; elles permettent notamment d’obtenir des convergences presque sûres. De manière générale, il est important d’illustrer cette leçon par desexemples tels que l’étude des records ou les propriétés du minimum de variables exponentielles in-dépendantes ou bien les statistiques d’ordre, ou encore le principe du « singe tapant à la machine »,etc. Enfin, la promenade aléatoire simple symétrique sur $\textbf{Z}$ est une riche source d’exemples.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 266 - Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. De l'intégration aux proba : indépendance
    1) Evenements indépendants
    2) Indépendance de va
    3) DVT Zêta
    II. Pptes autours de l'indépendance
    1) Critères
    2) produit et somme de va indépendantes, fonctions (car, géné, répart)
    III. Thm limites en proba
    1) Borel Cantelli
    2) LDGN
    3) TCL
    4) DVT : suite de va

2024 : Leçon 266 - Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis plutôt content de plan que j'ai fait. Il y a beaucoup de développements possibles pour cette leçon, je ne peux que vous conseiller d'en choisir qui se recasent dans les autres leçons de probabilités.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
    La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
    Ici, il faut centrer sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les APPLICATIONS de l'indépendance, il faut donc en mettre le plus possible.
    Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.
    Le DEV2 se trouve dans le Zuily-Queffelec mais il faut un peu remanier les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose...
    Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV ont un peu remanié la preuve, voir ma version du DEV si vous voulez.
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 266 - Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

2022 : Leçon 266 - Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.


2020 : Leçon 266 - Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.


Retours d'oraux :

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 63 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 30 versions au total)
Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre (utilisée dans 14 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 34 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 46 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 27 versions au total)
Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 39 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 5 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 212 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)