Développement : Evènements rares de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, une famille finie $\{A_{n,j}, 1\leq j\leq M_n\}$ d'évènements indépendants définis sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On pose $\mathbb{P}(A_{n,j})=p_{n,j}$ et on note
\[S_n=\sum_{i=1}^{M_n}\chi_{A_{n,j}}.\]
On suppose que
• $(M_n)$ tend en croissant vers $+\infty$
• $\underset{1\leq j\leq M_n}{\max}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$.
• $\sum_{j=1}^{M_n}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lambda>0$.
Alors la suite $(S_n)$ converge en loi vers la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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  • Remarque :
    Cette preuve a le gros avantage de ne pas utiliser le logarithme complexe, qui peut tourner au cauchemar au moment des questions.
    J'ai vu cette preuve présentée correctement à l'oral 2017
    Le texte ci-joint a été écrit avant la parution de la deuxième édition de Garet-Kurtzmann: De l'intégration aux probabilités. Il est maintenant corrigé dans la deuxième édition, alors qu'il n'y avait que des indications dans la première édition.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Je l'ai placé dans toutes mes leçons de probabilités.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 42 versions au total)