Fonctions caractéristiques et moments

Inégalité de Hoeffding

Statistiques d'ordre

peut être ouvrad 1

Fonctions caractéristiques et moments

Construction de variables aléatoires indépendantes de loi donnée

Théorème central limite

Evènements rares de Poisson

Mis à jour le 6.06.17

Inégalité de Hoeffding

Théorème central limite

avec le théorème des évènements rares de Poisson

Inégalité de Hoeffding

Théorème des événements rares

Fonctions caractéristiques et moments

Théorème central limite

Une caractérisation de la loi exponentielle

Inégalité de Hoeffding

Injectivité de la fonction caractéristique et application

Inégalité de Hoeffding

L'intérêt de cette inégalité est son corollaire qui est une version alternative de la loi forte des grands nombres où on ne suppose rien sur la loi des $X_i$. L'indépendance et la borne suffisent pour garantir la convergence presque sûre.
(p127)

Lemmes de Borel-Cantelli et application à la convergence presque sûre

Ce développement est certes peu recasable, mais il est plutôt facile et il permet en plus de réviser les propriétés classiques sur les mesures.
Tout le contenu de mon pdf se retrouve dans le livre en référence, de façon un peu disparate...
Dans mon pdf, "v.a.r$^d$" signifie "variable aléatoire réelle à valeurs dans $\mathbb{R}^d$".

Loi forte des grands nombres version marche aléatoire

Legendre.pdf

Inégalité de Hoeffding et deux applications

Fonctions caractéristiques et moments

Je fais la preuve classique du Ouvrard et j'enchaîne sur le TCL (en supposant Paul Lévy). La version n'a pas grand chose d'originale si ce n'est pour la partie TCL où je passe par le log complexe, ce que beaucoup de gens semblent ne pas faire. Attention aux coquilles

Théorème de Gauss - Markov

REF : Ouvrard 2, Chapitre 13.4 de la proposition 13.14 jusqu'au théorème 13.18.

Développement entièrement tiré du Ouvrard 2 pour faire une leçon lacunaire.

Ce développement est un agrégat de développements. La première partie traite de distance (au sens des moindres carrés), et touche aux extremums dans un evn. (Minimisation de la distance). On manipule beaucoup de opérateurs d'auto/inter-covariance, qui sont en soit des formes quadratiques (à peine) deguisées. Tous les produits scalaires sont utilisés comme simplification pour ne pas faire appel au dual. Si besoin, pour la leçon dualité, on peut réécrire les produits scalaires comme images d'elements du dual. Les solutions d'estimées de droite de régression sont en fait des solutions approchées d'un système d'équations linéaires (On résoud $y_i-(ax_i+b)=0, \forall i\in[|1,n|]$).Dans la deuxième partie, on trouve la continuité et la dérivation dans la log-vraisemblance (un peu au chausse-pied) et la convergence de V.A. On trouve l'indépendance des V.A dans les deux parties.

Théorème central limite

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

Ce développement est à tiroirs et je démontre le lien entre fonction caractéristique et moments ou donne une application du TCL selon la leçon.

Recasages : 218 - 261 - 262 - 266

Inégalité de Hoeffding

Un développement demandant un peu de dextérité dans les calculs, mais il se fait. L'unique application, basée sur le lemme de Borel-Cantelli, rend peut-être le développement un peu long, n'hésitez pas à passer certaines étapes de calcul un peu pénibles au besoin quitte à revenir dessus pendant les questions du jury.

Attention aux coquilles

Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.

Mode de convergence d’une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

Orienté pour l'option probabilités-statistiques

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ouv2] Probabilités 2 : Ouvrard
[GouAn] Analyse : Gourdon
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
[Ouv2] Probabilités 2 : Ouvrard

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Scan flou désolé.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. La dernière partie contient des résultats pas simple dont je n'aurais pas parlé si j'étais passé dessus le jour-j.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Voici un plan possible pour la leçon 253.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Voici un plan possible pour la leçon 261.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 262.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Je conseillerais de refaire des exos de calcul de lois avec une fonction $h$ mesurable positive, avec les fonctions de répartition, ou les fonctions caractéristiques.
Ne pas oublier les fonctions génératrices ! A ce propos, le DEV 1 est dans le Queffelec-Queffelec mais les amis qui m'ont refilé le DEV avaient un peu remanié la démo, voir ma version du DEV si vous voulez.
Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Il faut axer cette leçon sur les différents modes de convergence des variables aléatoires, et surtout les liens entre ces convergences. C'est pas mal de faire un schéma résumé en annexe.
Je conseillerais de refaire quelques exercices et de se faire une petite fiche-méthode pour montrer les différentes convergences (quels outils utiliser pour chaque mode de convergence)
Le DEV1 que je ne recase nulle part ailleurs se trouve éparpillé dans les Ouvrard, je l'avais pris sur maths-agreg et je l'avais appris par cœur Il est aussi dans le Gourdon Algèbre-probas je crois.

Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Ici, il faut centrer sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les APPLICATIONS de l'indépendance, il faut donc en mettre le plus possible.
Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.
Le DEV2 se trouve dans le Zuily-Queffelec mais il faut un peu remanier les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose...
Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV ont un peu remanié la preuve, voir ma version du DEV si vous voulez.

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Il faut axer cette leçon sur les différents modes de convergence des variables aléatoires et surtout les liens entre ces différents modes convergences (et également faire un schéma résumé en annexe pour que ça soit plus clair pour le jury). Il faut refaire quelques exercices et savoir quelle méthode utiliser pour montrer tel ou tel mode de convergence.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

J'aime beaucoup.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

J'aime pas.

Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

J'aime bien.

Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.

C'est dans les grandes lignes ce que j'ai fait le jour J. Ma partie sur les tests d'hypothèses et sur les intervalles de confiance était moins fournie car je manquais de place, mais je pense qu'il est bon d'avoir réfléchi aux items du document car ce sont des questions assez naturelles pour prolonger les premiers résultats de statistiques que l'on peut énoncer.
Je n'aurais pas parlé d'approximation de lois, mais je le mets là si ça vous intéresse.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans les leçons de probas, c'est celle que j'ai eu le plus de mal à faire. Il faut bien se souvenir qu'une var. aléatoire discrète est à valeur dans un espace discret !! Oui c'est dans le nom mais c'est important !

Pour mon premier développement j'ai aussi enlevé Galton Watson parce que le jury en avait marre. Finalement j'ai mis la marche aléatoire sur Z.

J'ai beaucoup de références, je pense qu'on peut faire moins. Pas mon meilleur plan mais si ça peut donner des idées.


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Je suis tombé sur cette leçon le jour J !! (Voir mon retour d'oral)
J'étais déjà passé dessus aux oraux blancs de décembre et j'ai fait exactement le même plan sauf pour la partie Théorème limites. C'est une leçon que j'ai fait au début de l'année c'est pour ça qu'il manque les références dans le plan mais ce n'est pas compliqué : J'utilise le Ouvrard 2 pour tous les théorèmes de Convergence et le Appel pour les théorèmes limites. Pour les développements, Le Bernis pour le premier et 131 dev. pour le deuxième.

Au début de l'année, j'avais peur des probas. Je les aies énormément travaillé pendant l'année et ça a payé ! N'ayez pas peur des probas

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Je suis passé sur cette leçon durant l'année. Le plan a été validé par un professeur.

Au début de l'année, j'avais peur des probas. Je les aies énormément travaillé pendant l'année et ça a payé ! N'ayez pas peur des probas !!

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Transformation de Fourier. Applications.

De tous les plans que j'ai fait, c'est mon préféré. J'adore cette théorie. Je suis passé dessus pendant l'année et le plan a été validé. J'ai construit la leçon (et les 6 minutes aussi) comme l'idée qu'on veut généralisé les séries de Fourier mais pour des fonctions qui ne sont plus périodiques. Je commençais mes 6 minutes avec un petit calcul informel que vous trouvez dans le Dym. Cela amène à se poser les questions de quand est-ce qu'on peut définir la transformée d'une fonction et quand a-t-on le droit d'inverser ? On le fait dans 3 cadres (ceux du rapport on invente rien ) : S(R), L1 et L2. Le choix de commencer par L1 ou par S(R) est personnel. Le premier suit l'histoire, mais l'autre (Mon choix perso) a une approche plus pédagogique. On va de la classe ou tout va bien marcher à savoir bien défini et inversion à la classe L2 où tout est à faire. Ensuite pour chaque classe de fonctions, j'intègre l'application à la théorie du signal et la formule de Poisson. Pour Shannon, le rapport demande explicitement l'interprétation L2 que vous trouvez dans le El Amrani. Il faut absolument Mettre le petit principe d'incertitude. Cela montre que l'on a compris les limites de la théorie.

Enfin, on termine par un dernier cadre, celui des probas qui donne encore une application puisque la fonction caractéristique n'est rien d'autre qu'une transformée de Fourier et qu'elle caractérise la loi !!

Références qui ne sont pas sur agrag-maths :

Antoine Chambert-Loir : Théorie du signal
Laurent Schwartz : Analyse tome 4


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Je suis passé dessus pendant l'année. D'abord, j'enlèverai la toute dernière partie sur l'intégration terme à terme qui n'est rien d'autre qu'une redite des théorèmes de Fubini. Ensuite il faut rajouter des exemples.

Pour la présentation du plan, il faut bien se souvenir qu'une interversion en analyse fait intervenir un passage à la limite et c'est ça qui est "difficile". Pour ceux que ça intéresse j'avais commencé par citer l'erreur de Cauchy dans son cours de 1821 pour motiver le fait qu'il y a une vraie difficulté dans l'interversion de symbole.

Sinon toute la première partie se trouve dans le El Amrani et après vous avez le Faraut.

Ma référence pour les théorèmes de Fubini (Je trouve que c'est là qu'ils sont le mieux écrits): Laurent Schwartz analyse tome 3 (à la place du Garet Kurtzman donc)

Pour mon deuxième dev. la ref c'est finalement 131 devs.

Ref qui n'est pas sur agreg-maths :
Oraux X-ens Tome 5 (Nouvelle édition)

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Plan que j'ai fait au tout début de l'année et sur lequel je suis passé. Il y pas mal de choses à reprendre mais ça peut donner une idée de la trame générale. Je ne changerai pas mon méta-plan en revanche ça manque cruellement d'exemples. Je reprendrai complètement la fin sur le transformée de Fourier en incluant des parties de ma 250.

Pour les reférences je commence avec le Herbin pour la construction de l'intégrale, ensuite le Faraut pour TCVD et th. de Fatou ainsi que pour les th. fondamentaux et ensuite le Ouv. 2 pour mon dev1. Pour la partie sur la convolution je copie colle celle qui est dans ma 250 que je trouve dans le SCH IV. et enfin le Dym pour la transformée de Fourier.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.