Développement : Lemmes de Borel-Cantelli et application à la convergence presque sûre

Détails/Enoncé :

On prouve dans un premier temps les deux célèbres lemmes de Borel-Cantelli, puis on les exploite pour montrer un critère de convergence presque sûre de suites de variables aléatoires, et on démontre enfin que ce critère est en fait une caractérisation lorsque les variables aléatoires sont indépendantes et que la variable aléatoire limite est nulle presque sûrement.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Ce développement est certes peu recasable, mais il est plutôt facile et il permet en plus de réviser les propriétés classiques sur les mesures.
    Tout le contenu de mon pdf se retrouve dans le livre en référence, de façon un peu disparate...
    Dans mon pdf, "v.a.r$^d$" signifie "variable aléatoire réelle à valeurs dans $\mathbb{R}^d$".
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    Recasages: 262, 264

    Je démontre les 2 lemmes de Borel-Cantelli, le critère de convergence presque sûre puis la démonstration de la loi forte des grands nombres pour des variables de Bernoulli (d'où le recasage dans la 264). Un prof m'a conseillé de plutôt faire les lemmes de Borel-Cantelli non pas avec des événements mais directement avec des va. Ce qui est effectivement plus cohérent avec les recasages mais n'est pas fait tel quel dans les livres...

    Ca passe pile en 15 minutes.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 43 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 40 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 49 versions au total)