Développement : Théorème de Furstenberg-Kesten (version faible)

Confiture

C'est un développement que j'ai trouvé dans un sujet de concours de l'ENS Paris (maths D 2021), en conséquence de quoi je n'ai pas de référence propre à proposer. Tout au plus, le sujet donne un plan à suivre pour la démonstration, mais il faut savoir tout retrouver par soi-même. Les seules questions à utiliser sont dans la partie 2 et la partie 4 (cf pdf pour le lien vers le sujet).

Personnellement, je le trouve assez cool, et c'est certainement original, mais j'imagine que ça demande pas mal d'effort pour le retenir sans référence. Il est je pense parfait pour la 262, car il fait manipuler convergence L1, en proba, presque sûre et en espérance et tisse des liens entre ces notions. En 266, il se justifie très bien car c'est une généralisation de la loi faible des grands nombres et exploite à plusieurs reprises l'indépendance des matrices aléatoires. Je pense que le recasage dans la 223 est justifié à condition de prendre un peu de temps pour démontrer le lemme de Fekete, et la réalité de la constante limite. Dans ce cas, il faut certainement sauter la preuve du lemme probabiliste au début, qui sera je pense vraiment hors-sujet et qui est en plus assez longue et technique, sans intérêt énorme hors des leçons de proba. Pour la 203, c'est vraiment tiré par les cheveux, cette leçon mérite mieux que ça.

Développement rédigé en début d'année, sans l'approbabation d'une personne compétente, et sur un travail mené avec un ami pour casser le sujet de concours ; il peut très bien y avoir des coquilles, et je ne garantis pas que la longueur du développement est correcte.