Théorème de Furstenberg-Kesten (version faible)

C'est un développement que j'ai trouvé dans un sujet de concours de l'ENS Paris (maths D 2021), en conséquence de quoi je n'ai pas de référence propre à proposer. Tout au plus, le sujet donne un plan à suivre pour la démonstration, mais il faut savoir tout retrouver par soi-même. Les seules questions à utiliser sont dans la partie 2 et la partie 4 (cf pdf pour le lien vers le sujet).

Personnellement, je le trouve assez cool, et c'est certainement original, mais j'imagine que ça demande pas mal d'effort pour le retenir sans référence. Il est je pense parfait pour la 262, car il fait manipuler convergence L1, en proba, presque sûre et en espérance et tisse des liens entre ces notions. En 266, il se justifie très bien car c'est une généralisation de la loi faible des grands nombres et exploite à plusieurs reprises l'indépendance des matrices aléatoires. Je pense que le recasage dans la 223 est justifié à condition de prendre un peu de temps pour démontrer le lemme de Fekete, et la réalité de la constante limite. Dans ce cas, il faut certainement sauter la preuve du lemme probabiliste au début, qui sera je pense vraiment hors-sujet et qui est en plus assez longue et technique, sans intérêt énorme hors des leçons de proba. Pour la 203, c'est vraiment tiré par les cheveux, cette leçon mérite mieux que ça.

Développement rédigé en début d'année, sans l'approbabation d'une personne compétente, et sur un travail mené avec un ami pour casser le sujet de concours ; il peut très bien y avoir des coquilles, et je ne garantis pas que la longueur du développement est correcte.

Théorème de Lévy et théorème central limite

Développement qui nécessite d'être à l'aise à la fois avec des notions de proba (encore que j'ai l'impression que le bagage probabiliste pour en comprendre la preuve n'est pas non plus gigantesque) et avec divers résultats d'analyse (densité d'espaces de fonctions dans d'autres, transformée de Fourier, etc.). Cela dit il en vaut la peine, avec sa pléthore de recasages possibles !
Comme d'autres l'ont signifié, le Zuily-Queffélec est assez indigeste à utiliser. J'ai fais mon possible pour indiquer le plus précisément possible la position des propositions que j'utilise dans le bouquin, et d'en faire les preuves les plus détaillées et compréhensives possibles sans changer l'argumentaire des auteurs pour pouvoir plus facilement s'y retrouver avec le livre le jour J.
Document non lu par une personne compétente. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquilles !

Formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson dans l'espace de Schwartz

Je propose à la fin du développement d'étendre l'inversion de Fourier sur Schwartz à L2 pour obtenir que la transformée de Fourier est un automorphisme continu de L2.
Développement non relu par une personne compétente. Si vous voyez un soucis, n'hésitez pas à me contacter !

Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse

Je ne fais pas exactement la même chose que Wulfhartus mais comme il y a déjà tout plein de versions différentes de développements sur les polynômes cyclotomiques, j'ai préféré ne pas créer un énième doublon.

J'ai décomposé ce développement en quatre modules : le premier présente les propriétés générales des polynômes cyclotomiques, le second fait l'irréductibilité sur Q et Z, le troisième l'applique à la démonstration de Dirichlet faible et le dernier traite la réductibilité des polynômes cyclotomiques à coefficients dans un corps fini, avec une application à $\Phi_8$ qui est irréductible sur Q et Z mais dont le projeté dans n'importe quel corps fini est réductible. Il est évidemment beaucoup trop long pour être traité en entier en 15 minutes : j'ai prévu pour ma part de choisir un module parmi 2, 3 et 4 selon la leçon sur laquelle je tombe, et d'y ajouter des propriétés tirées du premier module pour remplir les quinze minutes.

Si vous y trouvez des coquilles, n'hésitez pas à me contacter !

Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Un développement qui se recase très bien dans les leçons d'équa diff sans pour autant reposer sur beaucoup d'outils très typés "équa diff", mais qui en contrepartie use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie. A vos risques et périls donc !
La version que j'ai rédigée est beaucoup trop longue pour être traitée. Comme les raisonnements de calcul diff sont toujours lourds en notations, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible et clarifier au mieux la nature des différents objets, surtout que la référence est assez elliptique sur le sujet. Après avoir fait un essai à l'oral, je recommande de laisser de côté l'application à Liapounov (mais de la garder pour le plan !), de passer rapidement sur le calcul de la différentielle de $f_*$ et de se contenter de donner l'expression de la formule de $h$ dans la partie "surjectivité de $d_2 F(x^*, t \mapsto x^*)$", sans ensuite vérifier que cette expression réalise bien l'inversion que l'on veut (ce qui je pense se justifie par le fait que c'est très calculatoire et peu intéressant dans les leçons dans lesquelles c'est recasé).
J'ai ajouté un paquet de remarques à la fin du document, je ne m'étends donc pas plus ici.

ATTENTION : il y a une erreur dans le traitement d'une petit o lors de la différentiation de f*. C'est plus subtile que ce que je croyais ! Je mettrai une version corrigée dans pas trop longtemps.

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement très sympa qui vaut le coup d'être travaillé, car bien maîtriser les résultats autour des invariants de similitude donne de la ressource pour répondre à des questions théoriques de réduction.
Je traite dans le poly l'existence et l'unicité, même si après des essais à l'oral je pense qu'il est complètement impossible de faire les deux sans bâcler le travail. Ma preuve est globalement celle de Gourdon.
N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille !

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Un très chouette développement, fun à faire et qui a le mérite de se recaser dans plusieurs leçons dans lesquelles il est assez difficile de trouver des devs sympas (à mon humble avis). Par contre, c'est un développement assez long, pour lequel il faut être bien préparé. Mon avis, c'est qu'il faut admettre l'équivalence entre avoir un produit scalaire invariant et être conjugué à un sous-groupe de On(R), le lemme de Caratheodory et la convexité de Sn++(R) (mais bien sûr savoir démontrer tout cela !).
La ref suit un chemin un peu trop compliqué pour le résultat qu'on cherche à obtenir, mais qui se justifie parce que ça permet d'obtenir une forme plus générale du théorème de Kakutani (mais ce n'est pas ce que je fais dans le poly).
J'ai personnellement préféré utiliser des notations purement "endomorphismes" plutôt que matricielles (en particulier, j'utilise des adjoints plutôt que des transposées). Ça peut faire un peu lourd à certains endroits, mais je préfère comme ça.

Proba sur GL_2(F_q)

Un petit dev sympa, pas très difficile et mais original, qui a le mérite de faire manipuler de façon simple des questions de réduction (diagonalisation, trigonalisation, polynôme caractéristique) et des actions de groupes, tout ça pour faire du dénombrement sur les corps finis !
Attention, contrairement à ce que le titre laisse penser, ce n'est pas un dev de probas ! Ça m'a personnellement plu d'y mettre le formalisme à coup de variables aléatoires indépendantes, mais honnêtement ça ne sert pas à grand'chose, et c'est purement du dénombrement !

Par cinq points passe une conique

Un développement que je trouve personnellement plutôt chouette, alors que manipuler des systèmes linéaires et des déterminants ne me fait généralement pas rêver ; ici, le lien très simple qui est fait entre les considérations algébriques et géométriques le rend plutôt agréable à faire.
Il n'a rien d'original, mais plusieurs personnes m'ont dit qu'il n'est pas la peine de faire quelque chose de fou sur les coniques pour s'en sortir avec les honneurs. Je pense que ce développement, bien mené, est suffisant. Attention, il faut toutefois être à l'aise à la fois avec la classification des coniques et avec l'utilisation des coordonnées barycentriques.
En terme de référence, toutes les versions utilisent la même, et ça n'est pas pour rien ! La plupart des livres que j'ai ouvert pour lire sur les coniques utilisent abondamment la géométrie projective. Si comme moi vous n'êtes pas du tout à l'aise avec ces choses là, foncez sur le livre d'Eiden qui fait tout ce qu'il faut pour le dev sans la moindre géométrie projective.
Côté recasages, je le mets personnellement, sans surprise, dans la 171 et la 191. Je pense qu'il passe également très bien dans la 149 et la 162, puisque sans rien faire de très techniques sur les déterminants et les systèmes linéaires, ça reste le cœur du contenu algébrique de la preuve, et c'est l'occasion de faire un joli lien avec la géométrie qui est sûrement moins attendu que beaucoup d'autres choses qui se font dans ces leçons. Enfin, je l'ai mis dans la 181. Même si cette leçon ne s'appelle plus officiellement "barycentres", les coordonnées barycentriques restent l'un des premiers items dont le jury parle dans son rapport, en le qualifiant "d'essentiel", et après en avoir parlé avec un prof, il semble que le développement reste bon dans cette leçon aussi.

N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille dans le poly !

Forme normale de Smith

Un de mes développements préférés pour l'instant ! Il a à mon sens le mérite de pouvoir transformer certaines leçons d'apparence infâme (comme l'odieuse leçon sur les systèmes linéaires) en des mines d'or de fun si vous aimez la théorie des anneaux, voire que vous vous sentez prêt.e à parler de modules, car c'est l'élément de base de tout une machinerie très puissante qui permet d'obtenir un bon nombre de théorèmes qui font des modules sur les anneaux principaux des objets encore plutôt agréables à manipuler (base adaptée, un sous-module d'un module libre est libre, etc.). Alternativement, vous pouvez aussi embrayer sur des corollaires plus proches du programme, tels que le théorème de structure des groupes abéliens de type fini, ou alors la résolution d'un système linéaire à coefficients dans Z. C'est un développement excellent à coupler avec celui sur la réduction de Frobenius car l'algorithme de Smith est essentiellement celui qui permet de calculer explicitement les facteurs invariants d'une matrice. Par contre, il faut l'avoir bien préparé pour ne pas s'embrouiller dans l'explication de l'algorithme, et il faut savoir l'appliquer sur des exemples, au moins dans Z.

Mon document est très long, parce que j'ai essayé de détailler du mieux que je le pouvais, mais l'essentiel des arguments est à développer à l'oral. J'y traite le cas principal, et non euclidien, je trouve que la preuve est plus intéressante dans ce contexte. J'ai aussi ajouté quelques remarques d'ordre théorique sur le cadre dans lequel on peut faire fonctionner l'algorithme.

Côté recasages, je lui mets cinq étoiles dans la 122, la 142 et la 162 pour des raisons assez évidentes. Pour la leçon sur les déterminants, j'ai indiqué le recasage dans le poly mais je ne l'utiliserai personnellement pas ici, je trouve que c'est un peu maigre (les déterminants n'apparaissent que dans la partie unicité). Certaines personnes recasent ce dev dans la leçon sur les matrices diagonalisables, mais je trouve ça complètement tiré par les cheveux : ici on montre une forme *équivalente* à une matrice diagonale, pas *semblable*...

N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille !