Théorème de Furstenberg-Kesten (version faible)

C'est un développement que j'ai trouvé dans un sujet de concours de l'ENS Paris (maths D 2021), en conséquence de quoi je n'ai pas de référence propre à proposer. Tout au plus, le sujet donne un plan à suivre pour la démonstration, mais il faut savoir tout retrouver par soi-même. Les seules questions à utiliser sont dans la partie 2 et la partie 4 (cf pdf pour le lien vers le sujet).

Personnellement, je le trouve assez cool, et c'est certainement original, mais j'imagine que ça demande pas mal d'effort pour le retenir sans référence. Il est je pense parfait pour la 262, car il fait manipuler convergence L1, en proba, presque sûre et en espérance et tisse des liens entre ces notions. En 266, il se justifie très bien car c'est une généralisation de la loi faible des grands nombres et exploite à plusieurs reprises l'indépendance des matrices aléatoires. Je pense que le recasage dans la 223 est justifié à condition de prendre un peu de temps pour démontrer le lemme de Fekete, et la réalité de la constante limite. Dans ce cas, il faut certainement sauter la preuve du lemme probabiliste au début, qui sera je pense vraiment hors-sujet et qui est en plus assez longue et technique, sans intérêt énorme hors des leçons de proba. Pour la 203, c'est vraiment tiré par les cheveux, cette leçon mérite mieux que ça.

Développement rédigé en début d'année, sans l'approbabation d'une personne compétente, et sur un travail mené avec un ami pour casser le sujet de concours ; il peut très bien y avoir des coquilles, et je ne garantis pas que la longueur du développement est correcte.

Théorème de Lévy et théorème central limite

Développement qui nécessite d'être à l'aise à la fois avec des notions de proba (encore que j'ai l'impression que le bagage probabiliste pour en comprendre la preuve n'est pas non plus gigantesque) et avec divers résultats d'analyse (densité d'espaces de fonctions dans d'autres, transformée de Fourier, etc.). Cela dit il en vaut la peine, avec sa pléthore de recasages possibles !
Comme d'autres l'ont signifié, le Zuily-Queffélec est assez indigeste à utiliser. J'ai fais mon possible pour indiquer le plus précisément possible la position des propositions que j'utilise dans le bouquin, et d'en faire les preuves les plus détaillées et compréhensives possibles sans changer l'argumentaire des auteurs pour pouvoir plus facilement s'y retrouver avec le livre le jour J.
Document non lu par une personne compétente. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquilles !

Formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson dans l'espace de Schwartz

Je propose à la fin du développement d'étendre l'inversion de Fourier sur Schwartz à L2 pour obtenir que la transformée de Fourier est un automorphisme continu de L2.
Développement non relu par une personne compétente. Si vous voyez un soucis, n'hésitez pas à me contacter !

Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse

Je ne fais pas exactement la même chose que Wulfhartus mais comme il y a déjà tout plein de versions différentes de développements sur les polynômes cyclotomiques, j'ai préféré ne pas créer un énième doublon.

J'ai décomposé ce développement en quatre modules : le premier présente les propriétés générales des polynômes cyclotomiques, le second fait l'irréductibilité sur Q et Z, le troisième l'applique à la démonstration de Dirichlet faible et le dernier traite la réductibilité des polynômes cyclotomiques à coefficients dans un corps fini, avec une application à $\Phi_8$ qui est irréductible sur Q et Z mais dont le projeté dans n'importe quel corps fini est réductible. Il est évidemment beaucoup trop long pour être traité en entier en 15 minutes : j'ai prévu pour ma part de choisir un module parmi 2, 3 et 4 selon la leçon sur laquelle je tombe, et d'y ajouter des propriétés tirées du premier module pour remplir les quinze minutes.

Si vous y trouvez des coquilles, n'hésitez pas à me contacter !