Développement : Théorème de Lévy et théorème central limite

Détails/Enoncé :

Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Lévy qui est très pratique pour étudier la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'ai un peu moins recasé ce développement que Tintin mais je suis d'accord avec lui :

    pour la 218 : démontrer d'abord la proposition de la page 3, puis le lemme (il y a une démonstration plus rapide, mais celle-ci met vraiment en évidence l'utilisation des formules de Taylor) puis le TCL
    pour 250, 261, 262, 266 : démontrer Lévy et TCL

    Ces démonstrations sont tirées du livre de Zuily-Queffelec (vraiment pas terrible pour l'agreg), à défaut de trouver meilleure référence. Il utilise des arguments compliqués pour Lévy, on l'a retravaillé ensemble avec Tintin et on a abouti à cette démo qui semble beaucoup plus digeste. Il faut juste savoir justifier que $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{C}^{0}_c(\mathbb{R})$ (argument de convolution qui a été coupé sur la première page, si vous ne trouvez vraiment pas, n'hésitez pas à me contacter)
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    Développement qui nécessite d'être à l'aise à la fois avec des notions de proba (encore que j'ai l'impression que le bagage probabiliste pour en comprendre la preuve n'est pas non plus gigantesque) et avec divers résultats d'analyse (densité d'espaces de fonctions dans d'autres, transformée de Fourier, etc.). Cela dit il en vaut la peine, avec sa pléthore de recasages possibles !
    Comme d'autres l'ont signifié, le Zuily-Queffélec est assez indigeste à utiliser. J'ai fais mon possible pour indiquer le plus précisément possible la position des propositions que j'utilise dans le bouquin, et d'en faire les preuves les plus détaillées et compréhensives possibles sans changer l'argumentaire des auteurs pour pouvoir plus facilement s'y retrouver avec le livre le jour J.
    Document non lu par une personne compétente. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquilles !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 68 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 235 versions au total)