(2022 : 234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.)
Cette leçon est orientée vers l'étude et l'utilisation de l'espace $L^1$ (voire $L^p$) associé à la mesure de Lebesgue (supposée construite), voire d'autres mesures.
Les grands théorèmes de la théorie (permutation limite-intégrale, Fubini, etc.) sont évidemment incontournables, mais il faut éviter de s'en tenir à une liste désincarnée d'énoncés en proposant des exemples d'application significatifs.
Le thème de l'approximation (approximation des fonctions intégrables sur R par des fonctions continues à support compact, utilisation de la convolution) fournit de nombreuses applications, ainsi que celui de l'analyse de Fourier sur le cercle ou la droite réelle.
Les candidats solides pourront s'intéresser à la transformée de Fourier dans $L^2(R)$, la dualité dans $L^p$ (1 ⩽ p 8), les liens entre intégration et dérivation, les procédés de sommation presque partout de séries de Fourier, l'algèbre de convolution $L^1(R)$, l'étude des parties compactes de $L^p$.
(2019 : 234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.)
Cette leçon porte sur les fonctions intégrables au sens de la théorie générale de l’intégration de Lebesgue ainsi que les suites et les espaces de telles fonctions. Elle ne se restreint donc pas au seul cas des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue mais peut concerner d’autres mesures telles que la mesure de comptage, les mesures absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, etc., ou encore les mesures de probabilités, qui entrent tout à fait dans le cadre de la leçon. $\\$ Le candidat est invité à étudier le comportement de suites de fonctions Lebesgue-intégrables. Il est souhaitable que soient mentionnés l’approximation par des fonctions étagées ainsi que les principaux théorèmes de convergence sous l’intégrale de cette théorie (le lemme de Fatou, le théorème de la convergence monotone et le théorème de convergence dominée) en les illustrant par des exemples et des contre-exemples judicieux. Il faut avoir compris que l’intégrale d’une fonction continue contre la mesure de Lebesgue coïncide avec la notion usuelle d’intégrale dite de Riemann, et connaître l’interprétation d’une série absolument convergente comme une intégrale. $\\$ Cette leçon nécessite de maîtriser la notion de fonction mesurable et la notion de « presque partout » (et les opérations sur les ensembles négligeables qui sont associées) ainsi que la définition des espaces $L^1$,$L^2$. Toutefois, une connaissance des questions fines de la théorie de la mesure n’est pas exigée. $\\$ Une partie de cette leçon peut éventuellement être consacrée aux espaces $L^p$, mais il n’est pas requis d’en faire le cœur de la présentation. Évoquer la convolution entre fonctionsL1, et éventuellement entre fonctions de $L^1$ et de $L^p$ ainsi que les propriétés de régularisation et de densité qui en résultent, font partie des attendus (on prendra garde toutefois d’éviter les raisonnements circulaires entre continuité des translations et approximation par convolution). Un développement original, mais techniquement exigeant, peut consister à étudier les conditions assurant la compacité de suites bornées dans $L^p$. Enfin, le cas particulier de l’espace hilbertien $L^2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
(2017 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.)
Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est
important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. Les espaces associés à la mesure de comptage sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux qui peuvent être exploités dans cette leçon. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent tout à fait être mentionnés.
Pour aller plus loin, la complétude de $L^p$ ($p$ ffini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut aussi penser à certains résultats sur le caractère fini dimensionnel des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les
éléments ont des propriétés remarquables (par exemple être dans $L^\infty$). Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
(2016 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$. )
Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p > q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur N
ou Z fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent
être proposés comme la description du dual. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent
tout à fait être mentionnés.
Pour aller plus loin, la complétude de $L^p$ (p fini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut
aussi penser à certains résultats sur la dimension des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les éléments ont
des propriétés particulières de régularité. Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention
mais il faut se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue
de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
(2015 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.)
Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent être proposés comme la complétude ou pour les candidats plus solides la description du dual.
(2014 : 234 - Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.)
Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \geq q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de décompte sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux.
