Développement : Théorème de Fejér $L^p$ (approximation de l'identité)

Matthieu C.

Développement que j'ai beaucoup aimé, et qui rentre pile dans le temps quand on prend son temps.

La preuve du théorème de convergence $L^p$ des approximations de l'identité est quand même plus technique que son homologue qui montre la convergence uniforme sous les bonnes conditions. Elle fait revoir plein de choses en intégration (Hölder, continuité des translations, Fubini), et est très intéressante. Le théorème de Fejér en est une application directe. Je n'aime pas beaucoup les preuves "directes" du théorème de Fejér, parce qu'elles font tout sans dire qu'on utilise un théorème général sur les approximations de l'identité, et la bonne structure des noyaux de Fejér, qui ne tombe pas par hasard... Dans cette version, on insiste sur ce dernier point, c'est pourquoi j'ai choisi de prouver le théorème de Fejér de cette façon.

Côté recasages à mon avis:
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
Suites et séries de fonctions
Approximation par des fonctions régulières
Je le mettais dans la leçon "Série des Fourier", mais il faut admettre que l'on parle finalement assez peu de séries de Fourier dans le développement, même si l'objectif final est le théorème de Fejér. Encore une fois, vous êtes seuls juges :)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

NB : L'accent est bien sur le second E dans "Fejér" :)