Développement : Inégalité de Heisenberg

Détails/Enoncé :

Pour toute fonction $f\in L^2$ sur $\mathbb{R}$, on a l'inégalité suivante :
$\int_{\mathbb{R}}\lvert xf(x)\rvert^2dx\int_{\mathbb{R}}\lvert \zeta\hat{f}(\zeta)\rvert^2d\zeta\geq\frac{1}{4}\|f\|^4_{L^2}$

La preuve se fait pour des fonctions de l'espace de Schwarz, puis par densité, en approximant par convolution, et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et des approximations de l'unité sur certaines suites de fonctions.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

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    Dev de bon niveau, soyez a l'aise avec la transformée de Fourier, convolution, et approximation de l'unité, ainsi que les espaces associés. Le dev couvre une énorme partie des techniques utilisé en analyse de Fourier, et il est assez original pour le coup. Pas de ref, déso, il y a une version dans le El Amrani, mais faite de manière un peu compliqué et différente.
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  • Remarque :
    Vous pourrez trouver une version dans le El Amrani, mais je me suis plutôt basé sur la version de Berliat, en détaillant peut-être un peu plus certains arguments. Développement très solide à recaser dans les leçons transformation de Fourier mais aussi approximation par des fonctions régulières !! Je le conseille à tous.tes celleux qui sont à l'aise en régularisation par convolution etc !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse, Mohammed El Amrani (utilisée dans 151 versions au total)