Développement : Transformée de Zak et formule de Poisson

Détails/Enoncé :

La transformée $f\mapsto Zf(x,t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} f(x+k)e^{-2i\pi k t} $ définie sur l'espace de Schwartz se prolonge en une isométrie inversible entre $L^2(\mathbb{R})$ et $L^2([0,1]\times [0,1])$. La formule de Poisson permet d'échanger les variables $x$ et $t$ ainsi que $f$ et sa transformée de Fourier (en convention fréquentielle) :$Zf(x,t)=e^{2i \pi t x} Z \tilde{f} (t, -x)$ où $\tilde{f}(t)=\int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2i\pi t x} dx$.

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