Développement : Représentation des fonctions lipschitziennes

Détails/Enoncé :

Une fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est lipschitzienne si et seulement s'il existe une fonction $g \in L^\infty$ telle que pour tout $x \in \mathbb R$, $\displaystyle{f(x)=f(0) + \int_0^x g(x) dx}$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Normalement dans le Brézis et dans le Hirsch-Lacombe mais c'est introuvable.
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  • Remarque :
    /!\ Référence *précise* nécessaire/à confirmer
    Brézis p125-126: je pense que c'est le bon résultat
    /!\ Ça parle d'espaces de Sobolev

    J'ai trouvé ce PDF sur Internet (https://perso.univ-rennes1.fr/jurgen.angst/enseignements/CMMA13/cfeuille3.pdf) avec une très belle preuve passant par l'espérance conditionnelle et les martingales.
    Ce résultat est parfois lié au Théorème de Rademacher, pour la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    Très jolie développement mais qui demande quelque résultat sur les distributions. De plus il n'y a pas vraiment de bonne référence, mais dans le Brézis on peut trouver la preuve de quasiment toutes les étapes séparément.
    Le lien pour mon document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 35 versions au total)