Développement : Représentation des fonctions lipschitziennes

Détails/Enoncé :

Une fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est lipschitzienne si et seulement s'il existe une fonction $g \in L^\infty$ telle que pour tout $x \in \mathbb R$, $\displaystyle{f(x)=f(0) + \int_0^x g(x) dx}$.

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    Normalement dans le Brézis et dans le Hirsch-Lacombe mais c'est introuvable.
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    /!\ Référence *précise* nécessaire/à confirmer
    Brézis p125-126: je pense que c'est le bon résultat
    /!\ Ça parle d'espaces de Sobolev

    J'ai trouvé ce PDF sur Internet (https://perso.univ-rennes1.fr/jurgen.angst/enseignements/CMMA13/cfeuille3.pdf) avec une très belle preuve passant par l'espérance conditionnelle et les martingales.
    Ce résultat est parfois lié au Théorème de Rademacher, pour la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes.

    Mon site: https://esuong-maths.fr
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    Très jolie développement mais qui demande quelque résultat sur les distributions. De plus il n'y a pas vraiment de bonne référence, mais dans le Brézis on peut trouver la preuve de quasiment toutes les étapes séparément.
    Le lien pour mon document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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    Super développement mais faut un peu suer pour le reconstruire à partir de ce qui est fait dans le Brézis.
    Attention, dans la troisième page on a besoin d'un résultat qui porte sur les fonctions continues car G̃-f est seulement continue et pas C-infini. Je m'étais fait avoir quand j'avais rédigé le dév pour la première fois mais normalement j'ai corrigé ça. C'est quand même pas impossible qu'il y ait des erreurs.
    J'ai mis pas mal de chose dans mon document donc faut choisir ce qu'on fait.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 38 versions au total)