Développement : Dualité des espaces $Lˆp$-$Lˆq$

Détails/Enoncé :

On prouve, en utilisant le théorème de Radon-Nikodym que toute forme linéaire continue positive dans $Lˆp(\Omega, \mu)$ est caractérisé par une fonction dans $Lˆq$, pour p appartenant à [1, + \infty[, q et p étant conjuguées.

Le développement est entièrement justifié pour les leçons 201, 208 et 234. Pour la leçon 235, il se recase assez naturellement car on utilise tous les outils classiques de la théorie de l'intégration (Beppo-Levi, convergence dominée, Fubini et le lemme de Fatou). Il faut alors axer le développement sur les différentes interventions et bien les justifier.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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  • Remarque :
    La preuve est un peu trop longue, il faut donc choisir judicieusement les parties que l'on prouve. De même, il faut s'assurer que l'on connaît le théorème de Radon-Nakodym, l'hypothèse de sigma-finitude de l'espace étant nécessaire.

Références utilisées dans les versions de ce développement :