Développement : Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple

Détails/Enoncé :

Théorème: Soit $I\subset{\mathbf{R}}$ intervalle, $\rho$ fonction poids telle que: $\exists a>0, \int_I e^{a|x|} \rho(x) dx < \infty$.
Alors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $\rho$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ forme une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$.

Contrexemple: L'hypothèse sur $\rho$ est vitale.
Soit $w: ^{\mathbf{R}^*_+ \to \mathbf{R}}_{x \mapsto x^{-ln(x)}}$.
Alors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $w$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ ne forme pas une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$.

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  • Remarque :
    Développement qui se recase un peu partout qui utilise beaucoup de notions différentes consistant d'un théorème et d'un contrexemple.

    Résultats satellites:
    1. Inégalité de Hölder
    2. Développement en série entière des fonctions holomorphes
    3. Théorème de prolongement analytique
    4. Injectivité de la transformée de Fourier
    5. Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable

    Développement n°3 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 217 versions au total)