(2019 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.)
Cet intitulé ne sera pas utilisé pour la session 2020 où il sera remplacé par $\\$ Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif d’offrir des points d’entrée plus variés à cette leçon. Ainsi, il est possible, dans un premier temps et si le candidat le souhaite, de parler de polynômes de la variable complexe, de fractions rationnelles, de séries entières, sans immédiatement exposer la théorie des fonctions holomorphes. Le jury attend des exemples illustrant ces notions et montrant la maîtrise des candidats sur ces points. $\\$ Concernant les questions d’holomorphie, outre la définition, la signification géométrique des équations de Cauchy-Riemann, la formule de Cauchy et les résultats concernant l’analyticité, le principe des zéros isolés, ou encore le principe du maximum, sont des attendus de cette leçon. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notationş $\int_{\gamma} f(z)dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta,...).Même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) peut être présentée à condition que cette notion soit maîtrisée et accompagnée d’exemples. Le jury attire l’attention sur le fait que le prolongement de la fonction Gamma en fonction méromorphe est très souvent proposé mais insuffisamment maîtrisé. Proposer un développement moins ambitieux mais maîtrisé est une stratégie plus payante, qui ouvre la discussion avec le jury de manière plus positive. $\\$ Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre des possibilités d’ouverture en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau qui ne doit pas être abordé sans une bonne maîtrise des questions en jeu.
(2017 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.)
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta, ...).
Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
(2016 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications. )
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité.
Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
(2015 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.)
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
(2014 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.)
Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpréş tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) !
