(2016 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications. )
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité.
Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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Quelques questions sur le développement, une ou deux sur le plan et surtout des exos.
ils ont voulu que j'explique plus lentement le passage 'il existe epsilon tel que D_epsilon est inclus dans phi^-1(omega)' pour ceux qui connaissent le développement
Vous avez dit que la différentielle étaitune similitude drecte, que vouliez vous dire ? Alors bon j'explique tout un tas de trucs, en fait il voulait seulement que je dise que ça conserve les angles.
pourquoi une série entière de rayon de convergence fini a au moins un point singulier ?
Alors par l'absurde, si tous les points sont réguliers t'as autour de chaque point du cercle de convergence un ouvert où ta fonction se prolonge en une fonction holomorphe, t'en extrait un sous recouvrement fini par compacité du cercle et ensuite gros dilemme parce que tu peux étendre ta série en une fonction holomorphe sur un disque plus grand mais est ce que ça veut dire que ta série entière a un rayon de convergence plus grand que prévu et bah ouais, suffit de regarder la formule de Cauchy sur un cercle plus grand où ta fonction est holomorphe et ... fin regarde la preuve de 'une fonction holomorphe est analytique c'est la même idée'
Que sont les biholomorphismes du plan ? Les fonctions affines. On suppose le biholomorphisme nul en 0, on regarde l'inverse, on montre que 0 est un pôle de multiplicité 1 de l'inverse car la dérivée en 0 de f n'est pas nul, il faut pour le voir regarder la dérivée de la composée de la fonction avec sont inverse, bref on fait mumuse. on retire à l'inverse la partie en 1/z, c'est une fonction holomorphe, on montre qu'elle est bornée, on utilise le théorème de Liouville et du coup elle est constante et même nulle et on finit par montrer que le biholomorphisme est une fonction affine et fichtre quand t'as jamais vu ça de ta vie, t'es content d'en avoir fini.
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Plutôt bien passé je crois, une leçon pas évidente, j'ai répondu aux questions et leurs questions remuaient beaucoup de notions de mon plan et étaient loin d'être triviales. Ils étaient assez neutres, j'ai un peu dépassé le temps imparti à la défense de plan mais ils n'ont rien dit. J'avais quelques craintes sur mon plan, basé sur l'Amar Matheron qui démontre la formule de Cauchy en mode je suis un psychopathe, j'aime les 1-formes, mais ils ne m'en ont pas parlé, ils m'ont posé quelques questions sur d'autres points du plan, mais pas sur la partie trash.
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