Leçon 245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

(2016) 245
(2018) 245

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta, ...). Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.

(2016 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications. ) Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
(2015 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
(2014 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpréş tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) !

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.


2016 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    235 : Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Défense de plan ok, jury attentif, puis développement (uniformisation de Riemann).
    Quelques questions sur le développement (pourquoi existe-t-il une racine carrée holomorphe, pourquoi l'image d'un ouvert simplement connexe par une application continue est-elle simplement connexe, pourquoi là c'est ouvert etc.)
    Comment démontre-t-on le théorème de Montel ? (Ascoli car équilipschitz car on contrôle les dérivées grâce à la formule de Cauchy blabla)
    Puis séances de questions :

    Q : montrer que $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ on a $\pi cotan( \pi )z = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z-n}$
    R : alors bah déjà j'vais arranger le terme de droite pour bien dire que c'est convergent, puis après je vais isoler le terme d'ordre zéro... Ces deux fonctions sont méromorphes je vais montrer qu'elles ont les mêmes pôles...

    Q : oui mais elles ont quoi d'autre comme propriétés ?
    R : ah oui 1-périodique donc je regarde que le pole en zéro... je le fais. Quelques fois, mes méthodes de calculs ne lui plaisent pas trop (j'ai été partisan du plutôt faire plus que faire moins mais visiblement ils voulaient que j'aille moins loin dans les détails). Après faut borner quand la partie imaginaire explose je le fais... Puis Liouville, la différence est entière bornée .. et la limite en l'infini vers les imaginaires complexes donne le résultat

    Q : existe-t-il une fonction holomorphe au voisinage de zéro telle que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ f(1/n) = (-1)^n / n^3$ ?
    R : (là je sens bien que la réponse est non) bah euh j'vais voir... je suis parti dans la mauvaise direction je voulais regarder g(z) = f(1/z) mais elle m'a dit "non non regardez elle vaut quoi en zéro ? Ah oui : du coup f(z) = o(z) donc en fait f(z) = C z^2 + o(z^2) je mets 1/n donc C = 0... du coup après en allant à l'ordre supérieur on a que C' = (-1)^n pas possible ca doit etre constant et voilà

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympa, mais seuls deux d'entre eux ont discuté (la troisième personne ne devait pas être très branchée analyse complexe)
    Je crois que je leur ai coupé la parole à un moment mais ils ne m'en ont visiblement pas voulu

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui très bien. Aucune surprise sur ce point de vue là, j'avais bien bossé la leçon.

  • Note obtenue :

    19.75


2015 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des lacunes d'Hadamard

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le développement, une ou deux sur le plan et surtout des exos.

    ils ont voulu que j'explique plus lentement le passage 'il existe epsilon tel que D_epsilon est inclus dans phi^-1(omega)' pour ceux qui connaissent le développement
    Vous avez dit que la différentielle étaitune similitude drecte, que vouliez vous dire ? Alors bon j'explique tout un tas de trucs, en fait il voulait seulement que je dise que ça conserve les angles.
    pourquoi une série entière de rayon de convergence fini a au moins un point singulier ?
    Alors par l'absurde, si tous les points sont réguliers t'as autour de chaque point du cercle de convergence un ouvert où ta fonction se prolonge en une fonction holomorphe, t'en extrait un sous recouvrement fini par compacité du cercle et ensuite gros dilemme parce que tu peux étendre ta série en une fonction holomorphe sur un disque plus grand mais est ce que ça veut dire que ta série entière a un rayon de convergence plus grand que prévu et bah ouais, suffit de regarder la formule de Cauchy sur un cercle plus grand où ta fonction est holomorphe et ... fin regarde la preuve de 'une fonction holomorphe est analytique c'est la même idée'
    Que sont les biholomorphismes du plan ? Les fonctions affines. On suppose le biholomorphisme nul en 0, on regarde l'inverse, on montre que 0 est un pôle de multiplicité 1 de l'inverse car la dérivée en 0 de f n'est pas nul, il faut pour le voir regarder la dérivée de la composée de la fonction avec sont inverse, bref on fait mumuse. on retire à l'inverse la partie en 1/z, c'est une fonction holomorphe, on montre qu'elle est bornée, on utilise le théorème de Liouville et du coup elle est constante et même nulle et on finit par montrer que le biholomorphisme est une fonction affine et fichtre quand t'as jamais vu ça de ta vie, t'es content d'en avoir fini.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plutôt bien passé je crois, une leçon pas évidente, j'ai répondu aux questions et leurs questions remuaient beaucoup de notions de mon plan et étaient loin d'être triviales. Ils étaient assez neutres, j'ai un peu dépassé le temps imparti à la défense de plan mais ils n'ont rien dit. J'avais quelques craintes sur mon plan, basé sur l'Amar Matheron qui démontre la formule de Cauchy en mode je suis un psychopathe, j'aime les 1-formes, mais ils ne m'en ont pas parlé, ils m'ont posé quelques questions sur d'autres points du plan, mais pas sur la partie trash.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Complex analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 6 versions au total)
Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions, Ahlfors (utilisée dans 1 versions au total)
Complex Proofs of Real Theorems, Lax, Zalcman (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse complexe, Dolbeault (utilisée dans 1 versions au total)