Développement : Théorème de Rouché (et principe de l'argument)

Détails/Enoncé :

On montre :
Soit $\Omega$ un ouvert. Soient $f,g \in H(\Omega)$. Soit $K$ un compact de $\Omega$ à bord régulier (pouvant être paramétré par une courbe régulière). On suppose que l'on a :
$$
\forall z \in \partial K, |f(z)-g(z)| < |f(z)|+|g(z)|.
$$
Alors $f$ et $g$ ont le même nombre de zéros dans $K$ (comptés avec leurs multiplicités).

(Il existe d'autres conditions plus ou moins fortes avec différentes démonstrations)

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Développement pas trop dur et original. Bien sélectionner la condition que l'on veut montrer, celle du Amar Mathéron est assez général (mais pas forcément nécessaire si on veut juste l'appliquer à des polynômes). Le développement est peut-être aussi fait dans le Cartan. Je ne certifie rien sur le PDF, vérifiez par vous-même.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 25 versions au total)