Lemme de Schwarz et biholomorphismes du disque

Formule des compléments

Mis à jour le 9.05.17

Formule des compléments

Formule des compléments

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Fonction gamma page 95 et prolongement sur C page 147

Formule des compléments

Long développement. Il ne faut pas faire le détail du changement de variable au tableau si on veut espérer le faire en 15 minutes.
(p249)

Formule de Cauchy, application à l'analycité des fonctions holomorphes

Formule des compléments

Version contour rectangulaire (et pas "trou de serrure").

Transformée de Fourier par les résidus

CouZaert est passé sur ce développement à l'oral (leçon 236), et elle a eu 18/20. Bien sûr, il y a eu d'autres paramètres que le développement dans la notation, mais c'est la preuve que si ce dernier est maîtrisé, il peut donner lieu à un très bon oral. Nous avons relu cette version ensemble.

Selon moi : leçons 236, 245, 267 (2023).

Le résultat a sa place dans les plans des leçons 239 et 250, comme indiqué sur mon pdf, mais cela me semble un peu léger pour un développement.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Théorème de Rouché (et principe de l'argument)

Développement pas trop dur et original. Bien sélectionner la condition que l'on veut montrer, celle du Amar Mathéron est assez général (mais pas forcément nécessaire si on veut juste l'appliquer à des polynômes). Le développement est peut-être aussi fait dans le Cartan. Je ne certifie rien sur le PDF, vérifiez par vous-même.

Formule des compléments

Un développement vraiment difficile je trouve. Le lemme est une application plutôt hardcore du théorème des résidus. La preuve du théorème roule plutôt bien par contre.
Je compte retravailler le développement pour faire le lemme avec un contour plus simple (parce que bon, le "trou de serrure"...).

Attention aux coquilles.

Théorème de Montel

J'ai rajouté le théorème de la représentation conforme, qui peut se faire si on passe quelques arguments (qu'il faut savoir remontrer tout de même !). C'est costaud mais ça marche bien.

EDIT : j'ai rajouté un complément sur le théorème d'inversion globale holomorphe

Lemme de Schwarz et biholomorphismes du disque

Un développement assez simple et original d'analyse complexe utilisant le principe du maximum. Cela permet de sortir des développements les plus "classiques" (prolongements analytiques, calculs d'intégrales). Malheureusement, il se recase assez mal...

Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)

Dans ma version, j'ai le temps de montrer le théorème de Montel juste avant, quitte à aller plus vite sur le théorème de la représentation conforme (par exemple, sauter la partie 1 ou ne pas détailler le théorème de Hurwitz). À adapter selon la leçon (montrer le théorème de Montel n'a pas de sens dans la leçon connexité) !

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Meilleur rapport qualité prix : ya 3000.000.000 de trucs à dire, et tout le monde déteste tellement ça que c'est facile de passer pour un génie du mal.

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Suivre le Tauvel permet de suivre linéairement le livre sans trop se poser de questions, à quelques détails près.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde).
Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Je n'aborde pas les fonctions méromorphes parce que le plan est déjà assez dense, je trouve. Les espaces de Bergman constituent un développement pour moi, mais ils tombent comme un cheveu dans la soupe dans mon plan. On peut enlever la partie correspondante.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Voici un plan possible pour la leçon 236.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Voici un plan possible pour la leçon 245.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)