Théorème du point fixe de Picard

démonstration chapitre 11.2 p146- 147

[Doublon : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire]

Chapitre 27 p520-521

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Leçons 205, 207, 208.

Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire

Recasages: 220, 221

On résout $x y'' + 2 y' - \omega^2 x y = 0$ sur $\mathbb{R}$ par les séries entières puis sur $\mathbb{R}^*_{\pm}$ par réduction de l'ordre.

Dantzer [2e édition] p538 (ex 28.3)


Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Chapitre 27 p520-521

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde).
Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !

Espaces complets. Exemples et applications.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Plan fait en tout début d'année puis modifié depuis.
Suppression du II.2. et ajout d'un III avec pour titre "Méthodes itératives de résolution de systèmes".

Je suis passée dessus à l'oral du concours et ai eu 16 pour note.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Connexité. Exemples et applications.

Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon présentée durant l'année, j'ai utilisé le bouquin de Meunier qui est livre d'exo

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.