Référence : Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités

Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire

Développement :
Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire
Remarque :
Recasages: 220, 221

On résout $x y'' + 2 y' - \omega^2 x y = 0$ sur $\mathbb{R}$ par les séries entières puis sur $\mathbb{R}^*_{\pm}$ par réduction de l'ordre.

Dantzer [2e édition] p538 (ex 28.3)

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
Fichier :
- Résolution d'une équa diff.pdf

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Remarque :
Chapitre 27 p520-521
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Développement :
Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
- Analyse réelle et complexe , Rudin
Fichier :
- Unicontinue.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon :
Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 228.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde).
Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !
Références :
Fichier :
- Leçon 265.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Lecon_205 - Espaces complets. Exemples et applications. .pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
Fichier :
- Lecon_208 - Espaces vectoriels normés, apllications linéaires continues. Exemples..pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Leçon :
Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Lecon_241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et applications..pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Plan fait en tout début d'année puis modifié depuis.
Suppression du II.2. et ajout d'un III avec pour titre "Méthodes itératives de résolution de systèmes".

Je suis passée dessus à l'oral du concours et ai eu 16 pour note.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Lecon_226 - Suites Vectorielles Et Réelles Définies Par Une Relation De Récurrence u_{n+1}=f(u_n). Exemples Et Applications..pdf

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
Fichier :
- Lecon_246 - Séries de Fourier. Exemples et applications. .pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
Fichier :
- Lecon_203 - Utilisation de la notion de compacité..pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
Fichier :
- Lecon_208 - Espaces vectoriels normés, apllications linéaires continues. Exemples..pdf

228 : Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
Fichier :
- 208.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.
Références :
Fichier :
- 204.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 221.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
Fichier :
- 208.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Leçon présentée durant l'année, j'ai utilisé le bouquin de Meunier qui est livre d'exo
Références :
Fichier :
- 226.pdf

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon :
Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 228.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.
Références :
Fichiers :
- 265.pdf
- 265_fiche.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Remarque :
Les éléments pris dans le houkari peuvent être repris dans le dantzer mais je préfère les preuves du premier.
Références :
Fichier :
- serie de fourier lecon loic bonnet (1).pdf

Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Utilisée dans les 14 leçons suivantes :

Utilisée dans les 6 versions de développements suivants :

Théorème du point fixe de Picard

[Doublon : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire]

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Utilisée dans les 25 versions de leçons suivantes :

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

228 : Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

204 : Connexité. Exemples et applications.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.