Théorème du point fixe de Picard

démonstration chapitre 11.2 p146- 147

[Doublon : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire]

Chapitre 27 p520-521

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Leçons 205, 207, 208.

Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire

Recasages: 220, 221

On résout $x y'' + 2 y' - \omega^2 x y = 0$ sur $\mathbb{R}$ par les séries entières puis sur $\mathbb{R}^*_{\pm}$ par réduction de l'ordre.

Dantzer [2e édition] p538 (ex 28.3)


Mon site: https://esuong-maths.fr

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Chapitre 27 p520-521

Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues

Fonction zeta et nombres premiers

Etude de la fonction de zeta (qui est une série de fonctions !) et, avec des probabilités, la divergence de la série des inverses des nombres premiers

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

L'espace l² est un espace de Hilbert

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Théorème du point fixe de Picard

Pour les leçons : 205, 223, 226.
Ce développement ne se recase pas très bien, mais il a le mérite d'être simple et est crucial par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire.

Critère des séries alternées

On retrouvera la preuve vers la page 259 et l'application vers la page 275.

Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde).
Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !

Espaces complets. Exemples et applications.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Plan fait en tout début d'année puis modifié depuis.
Suppression du II.2. et ajout d'un III avec pour titre "Méthodes itératives de résolution de systèmes".

Je suis passée dessus à l'oral du concours et ai eu 16 pour note.

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Connexité. Exemples et applications.

Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon présentée durant l'année, j'ai utilisé le bouquin de Meunier qui est livre d'exo

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Les éléments pris dans le houkari peuvent être repris dans le dantzer mais je préfère les preuves du premier.

Formules de Taylor. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Voici un plan possible pour la leçon 236.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

Plan réalisée par Lilian.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon piège qui est plus difficile qu'elle n'y parait. L'idée est de formuler des résulats sous le point de vue des espaces et non des fonctions, ce qui peut être parfois assez dur. Essayez donc au maximum de formuler vos item sous cet angle (parfois ce sera impossible). Les 3 types d'espaces qu'on peut aborder sont les suivant : fonctions continues, Lp, fonctions holomorphes. On pourait aussi parler des esapces de fonctions linéaires, mais c'est un peu dangereux, car les avis sont très différents suivant les personnes (pour ma part, je trouve que cela rentre parfaitement dedans, la notion de fonction étant très floue). Mes eux développements sont sur de l'analyse complexe, ce qui n'est pas très bien (mais faute de mieux...).

Mes devs : Runge (faible), Esapces de Bergman

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Utilisation de la notion de compacité.

Leçon très appréciée et à juste titre. J'avoue que sans les opérateurs compacts, je trouve qu'il est assez difficile de remplir totalement la leçon, mais je suis sur que vous trouverez plein d'idées.
Je suis passé devant des camarades sur cette leçon, j'ai mis 2 h 15 pour faire tout le plan. J'avoue que je préfère la version papier, plus complète, que ma première version faite en Latex

Mes devs : Alternative de Fredholm, Point fixe compact

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Espaces complets. Exemples et applications.

Paradoxalement, je n'aime pas particulièrement cette leçon, bien qu'elle soit composée de plein de théorèmes que j'affectionne. J'avoue que sans la théorie de Baire, le plan serait un peu vide.
Je suis passé le jour J sur cette leçon. Il n'y a pas eu de questions particulières sur le plan. Ils ont eu l'air par contre d'apprécier le développement sur Bergman et se sont empréssé de la choisir et d'oublier le TIL (tu m'étonnes).

Mes devs : Espaces de Bergman, TIL

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon très originale, et que j'ai beaucoup aimé préparer (Top 5 facile des leçons d'analyse). Il y a beaucoup d'ouvertures possibles, notamment sur l'utilisation des espaces de dim finie pour approcher de la dim infinie (ce qui peut déboucher en remarque par exemple à la méthode des éléments finis). Personnellement, je n'ai pas beaucoup insister sur les séries de Fourier que je n'aime pas trop. Une chose que je n'ai vraiment pas vu, alors que c'est tout à fait dans le thème est l'analyse matricielle avec les méthodes itératives : la majorité des résultats se reposent implicitement sur de la dimension finie, et on manipule des matrices, qui sont des objets de dim finie. Ah et vous pouvez mettre (un peu) d'opérateurs compacts, en lien avec la compacité en dim finie. Pour finir, du calcul diff n'est pas insensé, du moment qu'on argumente bien sur l'avantage de la dim finie (gradient fini, hessienne ...). Le seul bémol de cette leçon est que votre table sera recouverte de plein de livres, il ne faut pas s'embrouiller avec les références !

Mes devs : Accélération de Tchebychev, La matrice la plus proche de chez vous

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Exceptionnelle leçon pour les amateurs d'analyse fonctionnelle, mais qui peut être assez dangereuse car on a tendance à allez mettre des choses vite dures. C'est par contre une leçon assez facile à niveler : si vous avez des difficulté sur ce thèmes, il est assez facile de remplir un peu plus les parties de 'faible' niveau, et au contraire pour les autres, de les expédier rapidement pour arriver sur des théorèmes un peu plus corsés. Une chose que je pense mérite un peu plus d'attention dans mon plan est la présentation des applications linéaires (continue) et les propriétés de cet espace (je suis allez trop vite à mon goût). Ah et utilisez le Daniel Li, la référence est goatesque.

Mes devs : Alternative de Fredholm, Esapces de Bergman

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.